384 Kapitel 16, § 3. 



(1) a;/= fi{x^ ..Xn, «1 . . «r) (« = 1, 2 . . n) 



wie wir beweisen werden, oo'' verschiedene Transformationen der x in 

 die X dar, die eine Gruppe bilden, welche die identische Transforma- 

 tion enthält. 



Nachweis Ujjj diesen Beweis zu führen, bemerken wir, dass zunächst, da 



ler Gruppe. 



die F die Gleichungen (24') erfüllen, nach (25) 



dF^{x, a) 



(28) ^h¥) -^V- +2- «.-.(«) 



^H 



= 



(A=:l, 2..n, i^ 1, 2..r) 



ist. Andererseits sind die Gleichungen (23) gerade nach x^ . . Xn auf- 

 lösbar, denn F^ . . Fn reducieren sich ja für a^ = a^^, . . ar = «r" auf 

 x^..Xn. Wir können mithin x^ . . x^ als die durch (23) definierten 

 Functionen von x^ . . Xn und «j . . «r auffassen und erhalten durch 

 Differentiation von (23) nach «*: 



^ ^ ^^ dF,{x, a) dx'. dF,{x, a) 



Multiplicieren wir diese Gleichung mit Ujk und summieren wir dann 

 über /c von 1 bis r, so kommt nach (28): 



(A=l, 2..W, i=l, 2..r) 



und also, da die Functionaldeterminante der F nach x^ . . xä nicht 

 identisch Null ist: 



(i= l, 2..r, i= 1, 2..n). 



Dies aber sind die Gleichungen (LH) unseres ersten Fundamentalsatzes. 



Sie sind wie iene nach den ^ auflösbar, da die Determinante der a,* 



nicht identisch Null ist. Daher kommen durch Auflösung die Rela- 

 tionen (II) des ersten Fundamentalsatzes: 



o , r 



* 1 

 (i=l, 2..n, Ä; = 1, 2 . . r). 



