Der zweite Fundamentalsatz. 385 



Die Auflösungen (1) der Gleichungen (23) erfüllen also diese 

 mehrfach erwähnten Diöerentialgieichungen identisch. Auch stellen 

 diese Gleichungen (1) gerade oo'" verschiedene Transformationen von 

 Xi . . Xn in Xy . . Xn dar, weil sonst nach Satz 1 des § 1 die x^ . . Xn 

 Relationen von der Form 



r ^ , 



2%*K . . ör) ^^ = (f = 1, 2 . . W) 



1 * 



erfüllen würden, in denen x^ ■ . %r nicht sämtlich Null wären, und also 

 nach (29) auch die Relationen: 



^i^n^ («) i^Jk («) j h {^1 = 



(i= 1, '2 ..n). 

 Da aher nach Voraussetzung keine Relation 



c,XJ+ \-erX;f=0 



mit Constanten Coefficienten oder also mit von x^' . . Xn freien Coef- 

 ficienten e^ . . Cr besteht, demnach auch keine n Relationen: 



r 



^ej^iix)=0 {i=l,2..n) 

 1 

 bestehen, so müsste einzeln 



r 



^nk{a)rPjk{a) eee (j = 1, 2 . . r) 



sein. Aber die Determinante der il^jk ist wie die der ccj^ nicht iden- 

 tisch Null. Es würde also doch folgen, dass jede Function Xk einzeln 

 Null wäre. 



Die Auflösungen (1) der Gleichungen (23) stellen folglich oo'' ver- 

 schiedene Transformationen dar, die den Differentialgleichungen (II) und 

 (III) des ersten Fundamentalsatzes genügen. Auch enthält die Schar 

 dieser Transformationen für a^ = a^^, . . ar = ar^ die identische, und 

 die Determinante der ajk(aP) ist von Null und Unendlich verschieden. 

 Aus jenem ersten Fundamentalsatze folgt daher, dass die Schar (1) von 

 oo'" Transformationen eine Gruppe bildet. 



Wir finden also: Ergebnis 



Satz 3 : Bilden die n Gleichungen 



(I) Xi' = fi{xi . . x„, ai . . ar) (?• = 1 , 2 . . n) 



eine Gruppe mit oo'' verschiedenen Transformationen und bestehen daher 

 Relationen von der Form 



Lie, Continuierlicho Gruppen. 26 



