386 Kapitel 15, § 3. 



(III) ^ß{x^' . . Xn) = 2 ^^-^("i • • ^'•) ä^ 



(i=l, 2--n/j=l, 2..r), 

 so erfüllen die Differentialausdrücke 



n r 



^ (IV) ^Jf^^h¥)li^.^ Äjf=^.aj.ia)§l- 



(i=l, 2..r) 

 paarweise Bedingungen von der Form : 



(V) (x;x;) =^cj.,x:f\ (AjA.) =^c,.,aj 



m denen die c^s Constanten sind. Auch besteht dann keine Belation von 

 der Form 



e,X,'f+ e,X,r+ ■ ■ + erX;f= 0, 



in der die e^ . . er Constanten bedeuten, und die Determinante der a^ ist 

 nicht identisch Null. 



Sind andererseits 2r DifferentialausdrücJce X/f und Ajf von der 

 Form (IV) vorgelegt, sodass keine Relation 



r 



^jejX/f:^0 



mit Constanten e^ . . Cr besteht und die Determinante der ajk{a) nicht iden- 

 tisch Null ist, wahrend sie paarweis Relationen von der Form (V) er- 

 füllen, so giebt es eine Gruppe von ex-'' verschiedenen Transformationen 

 x[ = fi(xi . . Xn, a^ . . ttr) (^ = 1, 2 . . n), 



die in den angegebenen Beziehungen zu diesen Differentialausdrücken steht 

 und die identische Transformation enthält. 



Verein- Man kauii die Voraussetzungen des zweiten Teiles dieses Satzes 



acliung der ~ 



Voraus- abev noch erheblich verringern. Sobald nämlich nur die Ausdrücke 



Setzungen. <-> 



X^f. . Xrf vorliegen, deren Klammerausdrücke die Form (V) besitzen, 

 ist es immer möglich, Ausdrücke A^f . . Arf von der in jenen Voraus- 

 setzungen angegebenen Form zu construieren, sodass also die Existenz 

 der X'f die der Af nach sich zieht. 

 3estimmung jJm solche Ausdrückc herzustellen, verfahren wir so: V\^ir erteilen 



der Af aus , ' 



den X'f. in den gegeben gedachten Differentialausdrücken 



df 



^^'f=^U^')l~'. (i=l, 2..r) 



