Der zweite Fundamentalsatz. 387 



den Veränderlichen x^ . . xü zunächst allgemeine Werte x^^'' . . Xry\ 

 dann allgemeine Werte a:/^). . xj-'^'^, darauf allgemeine Werte x^^^K . XrP^ 

 u. s. w., endlich allgemeine Werte a;/'"^ . a;«'''^ und bezeichnen die zu- 

 gehörigen Xjf mit Xp)f, Z/2)/; XPf. . . X/'^f, während wir noch 

 setzen : 



X,( Y + X/^Y + • • • + X/Y EEEWjf (i = 1 , 2 . . r) . 



Sicher besteht nun zwischen W^f. . Wrf keine Relation von der Form: 



3 



^JXi(x,w . . ^„(1), . . . x.c-) . . a;„w) Wjf= 0. 

 i' 



Wir können diese Behauptung auf folgende Weise darthun. Besteht doch 

 eine solche Relation, so bestehen auch identisch die r • n Relationen: 



(i = l, 2 ..n, z=l, 2 ..r). 



Für X = 1 sind dies n Gleichungen für x^. -Xr- Wenn alle r- reihigen 

 Determinanten ihrer Matrix 



ln(a;('>) • • • i.i(a;(^)) 1 



lln(a;(^>) • • • ^rnix^'') j 



verschwänden — was wir nicht wissen — , so wäre mindestens eine 

 dieser Gleichungen eine Folge der anderen. Allgemein werden Vj 

 dieser Gleichungen von einander unabhängig sein, während die n — v^ 

 übrigen aus ihnen folgen. Alsdann ist sicher v^ mindestens gleich 1. 

 Für z = 2 stellt (30) wieder n Gleichungen für Xi • - Xr ^^^' Sie 

 können nicht sämtlich Folgen der Gleichungen für jt == 1 sein, da 

 sich sonst diese neuen Gleichungen durch Functionen Xi' • Xr befriedigen 

 Hessen, die von x^^'^K . xj-^^ frei wären, sodass auch Gleichungen von 

 der Form: 



^ejU^^^y)==0 (*=1, 2..n), 



beständen, was in unserem Satz 3 besonders ausgeschlossen wurde. 



Es seien daher unter den n Gleichungen (30) für x = 2 gerade V2, 

 die von den n Gleichungen (30) für x = 1 und von einander unab- 

 hängig sind, sodass v.2 mindestens gleich 1 ist. Diesen Schluss setzen 



wir fort und finden : Wir erhalten in der Schar (30) ^i + 1^2 H h ^'r 



unabhängige Gleichungen, wobei jede Zahl v mindestens gleich 1 sein 

 muss. Es ergeben sich darum sicher r in Xi • • Xr lineare homogene 

 Gleichungen mit nicht verschwindender Determinante. Xi • • Xr sind 

 darum sämtlich Null. 



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