388 Kapitel 15, § 3. 



Hiermit ist bewiesen, dass zwischen W^f, TF2/'. .T'Fr/' keine lineare 

 Relation besteht. Da nun jedes 



r 



{X/X;)=^sCasX:f 

 1 

 sein soll, so folgt sofort aus : 



( W^ TF.) = (X/i)X.<i>) + • • • + W'-)X.('-)), 



dass auch jedes 



r 



{Wjw;)=^scj,..wj 



ist. Die r von einander unabhängigen Gleichungen: 

 WJ==0, ...Wrf=0 



bilden somit ein r-gliedriges vollständiges System in rn Veränder- 

 lichen x^^^K . xj-^^ . . . Xi^^''K . Xn^''\ Es besitzt rn — r von einander 

 unabhängige Lösungen u^, Mg • • '^m—r- 



Sie sind unabhängig von einander hinsichtlich gewisser r . n — r 

 unserer rn Variabein. Die übrigen r Variabein seien mit y^ . . yr be- 

 zeichnet. Alsdann wollen wir y^ . . yr, % • . Um—r als Veränderliche in 

 die Wf einführen, d. h. darin f als Function dieser Grössen betrachten 

 und somit die in den Wf vorkommenden Differentialquotienten von 

 f nach den früheren Veränderlichen durch die nach den neuen aus- 

 drücken. Da jedes WjUx^O ist, so kommen dann Ausdrücke von 

 der Gestalt: 



r 



1 



Nach wie vor besteht zwischen ihnen keine lineare Relation, und nach 

 wie vor ist allgemein 



r 



1 

 Man bemerkt aber, dass die Bildung der Klammerausdrücke jetzt nur 

 Differentationen nach y^ . ■ yr verlangt, also nicht gestört wird, wenn 

 den Grössen Wj . . Um—r allgemeine aber feste Werte beigelegt werden, 

 sodass die coj/c nur noch von y^ . .yr abhängen. 

 Wir sehen also ein, dass sich r Ausdrücke 



r 



W,f = ^kOj,{y,..yr)^^ (j=l, 2..r) 

 coustruieren lassen, zwischen denen keine Relation von der Form 



