Der zweite Fnndamentalsatz. 389 



besteht, und für die jedes 



r 



{WiW;)=^cjr,w,f 

 1 



ist. Die erste Eigenschaft lässt sieh auch so aussprechen: Die Deter- 

 minante der G)jic{y) ist nicht identisch Null. 



Bezeichnen wir y^ . .yr schliesslich mit a^ . . ttr, so haben wir r 

 Differentialausdrücke vor uns von der Beschaffenheit der früheren 

 AJ\.Arf. Die Existenz solcher Af folgt somit aus der Existenz 

 der X'f. 



Hiernach lässt sich unser Satz erheblich einfacher aussprechen. 

 Um ihn nun in der für die Gruppentheorie bequemsten Form auszu- 

 sprechen, führen wir den Begriff einer infinitesimalen Transformation 

 ein*). Wir haben nämlich die endlichen Gleichungen der zu den 

 Xj'f und Ajf gehörigen Gruppe mit identischer Transformation durch 

 Integration des simultanen Systems (24') erhalten und bemerken 

 dabei, dass zu jeder Gruppe ganz bestimmte Xj'f und Ajf wie auch 

 umgekehrt zu den Xj'f und Ajf eine ganz bestimmte Gruppe mit 

 identischer Transformation gehört. Andererseits bemerkten wir schon 

 in § 2, dass zu dem System von Differentialgleichungen 



1 * 



(i=l, 2..n, j = l, 2..r) 



nur eine bestimmte Gruppe mit identischer Transformation gehört. 

 Da diese Differentialgleichungen in ebenfalls eindeutiger Beziehung zu 

 den Xj'f und Ajf stehen, so folgt also, dass die Integrationsmethoden 

 des § 2 wie des § 3 zu genau derselben Gruppe mit identischer Trans- 

 formation führen. 



Nach § 2 können wir diese Gruppe durch Integration des simul- 

 tanen Systems 



(^^) "^ =^^.l,-.«. . x:) (i = 1, 2 . . n) 



*) Wir unterlassen nicht, hervorzuheben, dass wir diesen Begriff streng ge- 

 nommen nicht nötig haben, um den zweiten Fundamentalsatz auszusprechen. Die 

 obige Einführung dieses Begriffes soll daher, obgleich wir ihre dem Leser nahe- 

 liegende tiefere Bedeutung oben andeuten, nur rein formal verstanden werden 

 als bequeme abkürzende Ausdrucksweise. 



