390 Kapitel 15, § 3. 



mit den Anfangswerteii x^^ . . Xn von x^ . . x^ für t == t^^ oder etwa 

 i^ = finden. Dabei treten e^t^ e^t . . Crt als die Parameter der Gruppe 

 auf. Dies simultane System steht in engem Zusammenhang mit den 

 X/f. Es erteilt nämlich einer Function f von x^' . . x,,' gerade das In- 

 crement UejX/f- dt. Wir nennen nun 



n 



Xjf = ^i^Ji{Xi . . Xn) '^ . 

 1 * 



efneT^iuf. ^^^ Symbol einer infinitesimalen Transformation, nämlich derjenigen, die 

 Transforra. g-^gj. beliebigen Function f von x^ . . x„ einen unendlich kleinen Zu- 

 wachs Xjf- dt, also Xi den Zuwachs 



Xi — tfji [X^ . . Xji) • 1 



erteilt. Alsdann kann die Integration des Systems (31) als das Er- 

 gebnis einer unendlich oft ausgeführten infinitesimalen Transformation 

 2;e;X,/ aufgefasst werden, bei der die x^ . . Xn schliesslich in x^ . . x^ 

 übergehen. Wir drücken daher den Zusammenhang der Gruppe mit 

 -rz^eugVvou^ß"! simultancu System (31) dadurch aus, dass wir sagen: Bie Gruppe 

 'rJnsfornm-^'^^ «^ow den infinitesimalen Transformationen 2JejXjf erzeugt. In diesen 

 tionen. ^edcuten e^ . . Cr beliebige Constanten, deren Verhältnisse allein offen- 

 bar in Betracht kommen. 2JejXjf stellt also gerade oo'— ^ infinitesi- 

 male Transformationen dar, da ja nach dem ersten Fundamentalsatz 

 keine Relation besteht von der Form: 



2ejXjf= 



mit nicht sämtlich verschwindenden constanten Coefficienten e^ . . e,-. 

 unai)- Da keine solche Beziehung besteht, so nennen wir X,f. . Xrf von ein- 

 von inf. ander unabhängige infinitesimale Transformationen. 



tionen. Wir machen endlich noch darauf aufmerksam, dass die durch In- 



tegration von (31) hervorgehende Gruppe ausser der identischen auch 

 zu jeder ihrer Transformationen die inverse enthält. Zur Transfor- 

 mation 



x!= fiix^ . . Xn, ej . . ert) (i = 1, 2 . . r), 



die (31) erfüllt, ist nämlich die Transformation 



Xi = fiix^. . Xn, — e^t, . . — ert) {i == 1, 2 . .r) 



invers, die auch (31) erfüllt, wenn in (31) e^. . e,. mit — e, . . — e,. be- | 



zeichnet werden. j 



Nun sprechen wir den zweiten Fundamentalsatz in der uns als 1 



„Hauptsatz" aus der Ebene von früher her vertrauteren Form aus: 



b'unTimen- ZwelteF Fundameiitalsatz : r von einander unabhängige in- \ 



taisatz. finitesimale Transformationen l 



