Der zweite Fundamentalsatz. 391 



X,/- = ^|.>(a;, . . x:) II (i = 1, 2 . . r) 



erzeugen dann und nur dann eine r-gliedrige Gruppe, wenn 

 die Xif.. Xrf paariveis Relationen von der Form 



r 



(X.-X,) =^c,,. X,f {i,k=\,2.. r) 



mit Constanten Ijoefficienten Ciks erfüllen. Diese Gruppe ent- 

 hält die identische und paarweis inverse Transformationen*). 



Es ist möglich, durch wesentlich synthetische Betrachtungen den zweiten tigc^j^e^l',,. 

 Fuudamentalsatz zu beweisen. Dies soll hier in Kürze angedeutet werden, loitung des 

 Der aufmerksame Leser wird bemerken, dass der obige analytische Beweis Fundameu- 

 im Grunde genommen denselben Gang einschlägt. taisatzes. 



Zunächst bemerken wir, dass wir die Definition einer Gruppe mit iden- Audcro 



■. rr, ^ ... -ITT • 11" r Definition 



tischer Trans formatton m einer neuen Weise aussprechen können, oo'^ ver- einer 

 schiedene Transformationen T« . . . bilden bekanntlich eine Gruppe, wenn Gruppe, 

 die Aufeinanderfolge TaT/, auch stets eine Transformation Tc dieser 

 Schar ist. Die TaT^ hängen also dann auch nur von r wesentlichen Para- 

 metern ab. Wenn umgekehrt die TaTb nur von r wesentlichen Parametern 

 abhängen und in der Schar Ta die identische Transformation T„ü enthalten 

 ist, so gehört zunächst zur Schar der TaT,j auch die der TaTa» oder also 

 die aller Ta. Da beide Scharen von r Parametern abhängen, sind sie dann 

 identisch, d. h. jede Aufeinanderfolge TaT^ ist eine Tc. Also: 



Satz 4 : Eine Schar von oo'' Transformationen Ta . . .^ welche die 

 identische Transformation enthält, bildet dann und nur dann eine Gruppe, 

 wenn auch alle Transformationen TaTf, nur von r wesentlichen Parametern 

 abhängen. 



Wir stellen nunmehr folgende Betrachtung an: Ein Inbegriff vonTfai^sffrma- 



. . . 1 /^ j- j. tionen von 



m Punkten eines Raumes von n Dimensionen mit den Loordinaten x^. .Xn m-Ecken. 

 sei ein w-Eck genannt. Es möge eine Schar von oo'' Transformationen 

 Ta vorliegen: 



(1) ar/= fi{x^ . .Xn, a^. . af) ij = h 2 • • n). 



Indem wir sie als Transformationen der Punkte {x) des ebengenannten 

 Raumes in die Punkte (rr') dieses Raumes deuten, finden wir, dass die Ta 

 jedes m-Eck dieses Raumes in neue m-Ecke überführeu. Es soll im 

 Folgenden immer nur von w- Ecken allgemeiner Lage die Rede sein. 



Ein einzelnes m-Eck nimmt bei unseren oo'' Transformationen (l) 

 höchstens oo'" Lagen an. Zunächst fragen wir uns, was im Besonderen 

 geschlossen werden kann, wenn ein m-Eck und ein (m -\- 1)-Eek allge- 

 meiner Lage beide gleichviel, etwa oo? Lagen bei Ausführung aller Trans- 

 formationen Ta annehmen. Dabei ist nach dem eben Bemerkten Q^r zu 



*) Der von Herrn Schur für diesen Lie'schen Satz gegebene Beweis unter- 

 scheidet sich nicht wesentlich von dem Lie'schen Beweise. 



