392 Kapitel 15, § 3. 



setzen. Da das m-Eck bei allen oo'' Transformationen nur cx)P Lagen an- 

 nimmt, so wird es jedesmal von oo''~^ Transformationen in dieselbe neue 

 Lage gebracht. Möge das (w -j- 1)-Eck p^ . . 2)m+i also bei gewissen 

 oo'—P Transformationen der Schar (l) in das (m -|- l)-Eck p^ . .pm+i über- 

 gehen. Bei eben diesen oo''~? Transformationen geht das m-Eck allge- 

 meiner Lage Pi-.pm in dasselbe m-Eck p^. .pm über. Jene cx)'""C Trans- 

 formationen T also, die p^ . . p^ nach p^ . .Pm führen, bringen auch jeden 

 Punkt Pm+i des Eaumes nach nur einer neuen Stelle p,u+i hin. Daher 

 führen alle diese oo'"~(' Transformationen die Punkte des Raumes in 

 gleicher Weise in neue Punkte über, d. h. sie reducieren sich auf nur eine. 

 Es ist demnach q = r. Somit folgt: 



Satz 5: Erteilt eine Schar von oo'' Transformationen einem m-Eclc 

 und einem (ni -j- 1)-Eck allgemeiner Lage gleichviele und zwar oo? ver- 

 schiedene Lagen, so ist q = r. 



Ein w-Eck erhält sicher nicht mehr Lagen als ein (rn -\- l)-Eck. 

 Insbesondere ein 1-Eck erhält mindestens oo^ Lagen. Wenn ein 2-Eck 

 nur oo^ Lagen annimmt, so gilt dasselbe vom 1-Eck, und es ist nach 

 tinserem Satze r = 1. Ist r > 1, so nimmt folglich ein 2 -Eck mindestens 

 oo'"^ Lagen an. Erhält ein 3 -Eck dann nur oo^, so gilt dasselbe vom 

 2 -Eck, und es ist nach unserem Satze f = 2, u. s. w. So folgt: Ist 

 r > m, so nimmt ein m-Eck sicher mindestens oo"* Lagen bei den T an. 

 Andererseits wissen wir, dass es höchstens oo'' Lagen erhalten könnte. 

 Daher muss es eine Zahl m<>' geben, sodass ein wt-Eck gerade oo'' Lagen 

 erhält. Dasselbe gilt dann vom (m -f- 1)-Eck u. s. w., also auch vom 

 r-Eck. 

 Transform. Satz 6: Eine Scliar von oo'' Transformationen erteilt einem r-EcJc 



»mes /-Ecks. ' 



gerade oo' verschiedene Lagen. 



Jedes (r -\- Ä;)-Eck erhält also offenbar auch gerade oo'' verschiedene 

 Lagen. 

 Transform. Fasson wir nun ein. (r -f- l)-Eck ins Auge und betrachten wir die 



eines ... \ ' / . r> 



r+i)-Ecks.Lagen, die es bei allen Aufeinanderfolgen TaT^ unserer Transformationen 

 erhält. Erteilen die 'TaT/, ihm gerade oo'' Lagen (weniger können es nicht 

 sein), so erteilen sie auch einem ^'-Eck gerade oo'' Lagen, da dies schon 

 bei den 7'„ selbst oo'' Lagen erhält. Besteht die Schar der l\Ti, aus 

 oo* Transformationen, so folgt also aus Satz 5, wenn darin s für r, r für 

 m und r für q gesetzt wird, dass die Zahl r = s ist: die Schar der 2'aTb 

 besteht dann aus gerade oo'' Transformationen. 



Wenn dagegen die Ta2\ einem (r -j- 1)-Eck mehr als oo'' Lagen 

 geben, so ist natürlich die Zahl der Transformationen 'TaT(, grösser als oo*". 

 Um hieraus einen neuen Satz zu formulieren , bemerken wir noch : 

 Ein (r -\- 1)-Eck nimmt bei Ausführung der Ta selbst oo'' Lagen an. 

 Wenn es bei den TaT/) nicht mehr Lagen erhält, so ist die Schar der 

 oo'' (r -f- 1)-Ecke, in die es bei den 2^ übergeht, gegenüber jeder Trans- 

 formation Tb invariant. Dies lässt sich auch umkehren. Somit ergiebt 

 sich mit Rücksicht auf Satz 4 : 



Satz 7: Eine Schar von oo'' Transformationen Ta, welche die iden- 

 tische Transformationen enthält, bildet eine r-gliedrige Gruppe dann und nur 

 dann, wenn alle (r -\- 1)-Ecke sich in Scharen von je oo'' {r -{- l)- Ecken 



