Der zweite Fundamentalsatz. 393 



in solcher Weise verteilen, dass jede dieser Scharen für sich hei allen Trans- 

 formationen Ta invariant bleibt. 



Betrachten wir jetzt als Schar der Ta alle endlichen Transformationen, Anaiytisciu 

 die von oo'' ^ infinitesimalen Transformationen tragimg de 



Ergebuisea 

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erzeugt werden, d. h. die sich ergeben durch Integi'ation des früheren 

 simultanen Systems (3l). Wir wollen dabei, weil wir den Veränderlichen 

 nachher neue Indices anhängen müssen, die transformierten Veränderlichen 

 statt mit a;/. . Xn mit x^ . . Xn bezeichnen. Unter den T« verstehen wir 

 folglich alle c»'' Transformationen von x^ . . Xn in ä*! . . ä^«, die sich durch 

 Integration des simultanen Systems 



— ^i = dt (i=l, 2..r) 



^'j^jii^y -^'J 



mit den Anfangswerten Xy . . x» von x^ . .Xn für ( = ergeben. Sie haben 

 als Parameter die Grössen fjf, e^t . . Crt. Offenbar enthalten sie die iden- 

 tische Transformation (für ^=^0). Wenn wir nach der Integration e.yt..ert 

 mit (', . . fr bezeichnen, so kommen als Gleichungen der Transformationen 

 etwa diese : 



(32) Xi = fi(xy . .Xn, e^ . . Cr) (i = 1, 2 . . n). 



Auf diese Schar darf daher Satz 7 angewandt werden. Dies thun 

 wir, indem wir den Satz 7 ins Analytische übertragen. 



Es mögen x^^^K . Xn^^\ a-jt^) . . ^^„(2)^ . . Xy'^''+^) . . a^^^+i^ die (r + l)n 

 Coordinaten der Ecken eines (r -f- l)-Ecks sein und X/^^f.. X/''+'^^f das 

 Symbol Xjf, aber geschrieben in bez. den Xi^^K . x {'■''+ ^K Alsdann werden 

 die Ecken des (r -{- l)-Eck3 bei der Transformation (32) durch die Glei- 

 chungen 



(33) XiW = f,(x(^), e), .... Xi('-) = fi{x('-\ c) 



(^ = 1, 2 . . w) 



in die Ecken ^/^\ . . ^/''^ übergeführt. Offenbar stellen die (r -\- l)n Glei- 

 chungen (33) die von den 00'"+^ infinitesimalen Transformationen^^ 



r r 



(34) 2J '^ Wf + ^/'^^+ • • + ^/+'V) ^^ej Ujf 



1 1 



erzeugten endlichen Transformationen dar. 



Jedes (r -j- 1)-Eck a;/'^ . . 3?/''+^' kann nun in einen Punkt eines 

 Raumes von [r -{- l) n Dimensionen mit den Coordinaten x^^^^K . Xn''^\ . . ., 

 ajj^'"' . . Xn^''^ abgebildet werden. Die in Satz 7 ausgesprochene invariante 

 Zerlegung der Zahl aller (/• 4" l)-Ecke in Scharen von je cx)'' stellt sich 

 in diesem Räume dar als eine gegenüber den Transformationen (33) in- 



