394 Kapitel 15, §§ 3, 4. 



Variante Zerlegung des neuen Raumes in Mannigfaltigkeiten von r Dimen- 

 sionen. Eine solche Zerlegung wird durch (r -f- l) w — r Gleichungen von 

 der Form 



^.(a;/!) . . a;„('-+i)) == Const. (t = 1, 2 . . (r + \)n — r) 



dargestellt. Es muss also vermöge (33) jedes gp«, geschrieben in den äc, 

 sich auf eine Constante reducieren, sobald alle 9?^, geschrieben in den x^ 

 gleich denselben Constanten gesetzt werden, d. h. es muss jedes (ptix) 

 identisch gleich (ptix) werden. Mit anderen Worten, da die Gleichungen (33) 

 durch Integration des simultanen Systems 



_- = cli {i = 1, 2 . . n, V = 1, 2 . . r -\- 1) 



^e.l^.{x,ir)..xjr)) 



hervorgehen, und da dies simultane System der linearen partiellen Differen- 

 tialgleichung 



111 * 



oder nach (34) kürzer 



r 



1 



äquivalent ist, so müssen die gorC^) Lösungen dieser Differentialgleichung 

 sein. Satz 7 kann also, da e^ . . Cr ganz beliebige Constanten bedeuten, so 

 ausgesprochen werden : 



Die Gleichungen (32) stellen dann und nur dann eine Gruppe dar, 

 wenn die r linearen partiellen Differentialgleichungen 



UJ=0, Urf=0 



oder also diese: 



XjWf + xpf + . . + X/+1)/- ==0 (i = 1, 2 . . r) 



gerade (r -f- l) « — r gemeinsame von einander unabhängige Lösungen 

 cpt besitzen. Diese r von einander unabhängigen Gleichungen enthalten 

 (r -{- 1) n unabhängige Veränderliche, haben also überhaupt (r -f- 1) w — r 

 gemeinsame Lösungen dann und nur dann, wenn sie ein vollständiges 

 System bilden, d. h. wenn jedes 



r 



(CT,- CT,) EEE^s^j,., UJ (j, V = 1, 2 . . r) 

 1 



ist. Die ipj,.,, bedeuten zunächst irgend welche Functionen der Veränder- 

 lichen. Nun folgt sofort hieraus 



r 



1 

 ähnlich wie oben bei Gelegenheit der Wjf. Daraus schliesst man leicht, 



