Der dritte Fundamentalsatz. 395 



dass die tpjyg bloss Constanten cjys sind, und kommt so zu den notwendigen 

 und hinreichenden Bedingungen 



r 



{Xj Xy) ^ ^S Cjy, X, f, 

 1 



wie im zweiten Fundamentalsatz. 



§ 4. Der dritte Fundamentalsatz. 



Nach dem zweiten Fundamentalsatze erzeugen r von einander ud- 

 abhängige infinitesimale Transformationen 



n 



dann und nur dann eine Gruppe, wenn die Xif paarweis Relationen 

 erfüllen von der Form: 



r 



(35) (X,Z,) =^CasX,f (/, h=\,2..r). 



1 



Die in diesen Formeln auftretenden Constanten Ciks erfüllen gewisse «oiationen 

 Relationen, die wir schon früher, in der Ebene (in § 3 des 12. Kap.) den cvj, 

 abgeleitet haben. Wenn wir nämlich wie damals die Jacobi'sche Iden- 

 tität bilden: 



((X,-Z,)XO + ((Z,XOX,) + ((X,Z,)X,) = 

 und vermöge (35) ausrechnen, so ergeben sich die Relationen: 



r 



(36) ^{CiksCsit + CkisCsit + CusCsh) = 



1 



(i^ 7c, l, t=\,2 ..r). 

 Da ferner offenbar 



(X,Z,) + (Z,Z,) = 

 ist, so ist überdies 



(37) • CM + Cn^O (i, k, 1=1,2 --r). 



Es ist daher sicher, dass zu gegebenen Constanten c,vt, sicher 

 dann keine r unabhängigen infinitesimalen Transformationen X^f. . Xrf 

 existieren können, die Relationen von der Form (35) erfüllen, wenn 

 zwischen den gegebenen Grössen c,*, nicht alle Relationen (36) und 

 (37) bestehen. 



Es gilt nun aber auch umgekehrt der Satz, dass das Erfülltsein 

 der Relationen (36) und (37) seitens der Constanten c,-*, hinreicht, um 



