396 Kapitel 15, § 4. 



daraus die Existenz von r von einander unabhängigen infinitesimalen 

 Transformationen mit den Relationen (35) zu erschliessen. 



Die Existenz der Relationen (36) und (37) bei einer Gruppe und 

 die soeben angedeutete Umkehrung bildet den Inhalt des dritten Fun- 

 damentalsatzes, den wir bequemer formulieren können, wenn wir den 

 zusammeu- schon früher, in der Ebene, eingeführten Begriff der Zusammensetzung 



setzuug. ' • T /-i 



einer Gruppe benutzen. Da die c,*, die Coefficienten sind in den Aus- 

 drücken, die ergeben, wie sich die (X.Xa:) aus den r infinitesimalen 

 Transformationen J^^f . . Xrf der Gruppe linear zusammensetzen, so 

 sagen wir, dass diese Coefficienten dks die Zusammensetzung der 

 Gruppe bestimmen. Man bemerkt, dass die Anzahl dieser Constanten 

 und ihre Relationen (36) und (37) von der Anzahl n der Veränder- 

 lichen ganz unabhängig sind. 



Nun lautet der in Rede stehende Satz so: 

 Dritter Dritter Fundamentalsatz: r^ Constanten dks hestimmen dann, 



"talsaT"' aher auch nur dann die Zusammensetzung einer r-gliedrigen 

 Gruppe, ivenn sie die Relationen erfüllen: 



Cm + Cku = 0, 



r 



y] (ca-sCsit + CkisCsH + Ciisdki) = 

 (i, Je, l, t=l, 2 . .r). 



Wir werden für das noch zu Beweisende, dass nämlich zu Con- 

 stanten Cks mit diesen Relationen auch immer wenigstens eine r-gliedrige 

 Gruppe mit der von den c,*, bestimmten Zusammensetzung gehört, 

 einen rein analytischen Nachweis erbringen, indem wir r von einander 

 unabhängige infinitesimale Transformationen X^f. . Xrf coustruieren, 

 für welche die Beziehungen (35) bestehen. Dieser Beweis könnte aber 

 Lesern, welche die Lie'sche Theorie der Functionengruppen nicht 

 kennen, künstlich erscheinen. Aus diesem Grunde und auch deshalb, 

 weil sich die zweite Hälfte des dritten Fundamentalsatzes nicht als so 

 wichtig zeigen wird, wie die erste Hälfte, geben wir den Beweis hier 

 in kleinerem Druck. Doch heben wir ausdrücklich hervor, dass zum 

 Verständnis des Beweises nur elementare Kenntnisse erforderlich sind. 

 Aus der Theorie der Berührungstransformationen, der partiellen Diffe- 

 rentialgleichungen erster Ordnung und der Functionengruppen wird 

 also gar nichts als bekannt vorausgesetzt. 



2^i>üe8*dü8 Es seien also r^ Constanten dks vorgelegt, die den Bedingungen (36) 



3. Funda- und (37) genügen. Unter H^, H^ . . Ur sollen nun r veränderliche 



Satzes. Grössen und unter U. V. W u. s. w. Functionen dieser Grössen verstanden 



