Der dritte Fimdamentalsatz. 397 



werden. Alsdann definieren wir einen Ausdruck. 1 Z7 F; allgemein durch ^J'™,^"^ 

 die Formel: 



. I "^tr^ k:i oU dV x^ 



(38) \uv\ =2:2' mm 2"'^^- 



1 * 1 



sodass insbesondere 



r 



(39) \HiH,\=^c,,,H, 



und nach (36) \UV\ ^ — \VÜ' ist. Wir wollen beweiseu, dass stets die 

 Identität besteht: 



(40) \\UV\ W\ -\-\\V W'^ U\-{-\\ WU\ F| = 0, ^'meine^'" 



sobald U, V, W irgend welche Functionen von //^ . . Hr sind. Zu diesem 

 Zwecke zeigen wir, dass, sobald diese Identität für zwei gegebene Functionen 

 U, V und eine beliebige Hk gilt, sie auch für eben jene ü, V und eine 

 ganz beliebige Function TF gilt. Es sind nämlich 



1 



Symbole zweier infinitesimaler Transformationen in den Veränderlichen 

 Hy . . Hr- Bildet man also nach bekannter Regel den Klammerausdruck, 

 so kommt, da dieser bekanntlich frei von den zweiten partiellen Differen- 

 tialquotienten von f ist: 



(41) \TJ\Vf^-\V\UfW^^\\U\yiU\-\VUH^\\^- 



Gilt nun die Formel (40) für die betrachteten Functionen ?7, F und jedes 

 Hi^ so ist 



\\UV\Hi\^\U\VHi\ -\Y\UHi\, 



also nach (41): 



1 



d. h. dann gilt die Formel (40) auch für CT", F und eine beliebige Func- 

 tion f von H^ . . Hr. Nun aber gilt die Formel (40) für je drei der 

 Grössen if, etwa Ht, Hk und Hi^ da 



r 



ist und die Relationen (37) zwischen den Constanten C/k, bestehen. Infolge 

 dessen gilt die Identität auch für zwei der H^ . . Hr und eine beliebige 

 Function U von H^ . . Hr, also etwa für U, Ili und ZT*- Hieraus folgt 



