398 Kapitel 15, § 4. 



weiter, dass sie auch für {7, Hi und eine beliebige Function V von H^..IIr 

 und endlich, dass sie auch für drei beliebige Functionen ?7, F, W von 

 f/, . . Hr besteht. Von der somit bewiesenen Identität (40) machen wir 

 nachher Gebrauch. 



"Wir suchen jetzt eine Function f so, dass identisch 

 wird. Diese Bedingung ist nichts anderes als die Differentialgleichung 



\ 

 die sich stets befriedigen lässt, wenn nicht die linke Seite identisch Null \ 



ist, d. h. alle \H^Hk gleich Null sind. Von diesem Ausnahmefall sehen 



wir vorerst ab. Es giebt also eine Function f, für die \Hj\ gleich Eins 



ist. Wir nennen Hy jetzt P^ und diese Function f jetzt X^, sodass 



(42) !i'i^i| = l 



ist. Sodann suchen wir Functionen f von H^ . . Hr, welche die beiden 

 Differentialgleichungen : 



(43) AJ=\PJ\=0, A,f=\XJ\==0 



erfüllen. Diese Gleichungen sind von einander unabhängig, denn die An- ] 

 nähme f^P^ erfüllt die erste, aber nicht die zweite. Sie bilden ein 

 zweigliedriges vollständiges System, weil : 



A,{Ä,f) - A,(ÄJ) = \P,\XJ\\ - \X,\PJ\\, 

 d. h. nach der Identität (40) und nach (42) 



A,(A,f) - A,{Aj) = \\PMf\EEE\l, f\EEEO 



ist. Das System (43) in den r Veränderlichen H^ . . Hr hat folglich r — 2 

 von einander unabhängige Lösungen, die wir für den Augenblick mit 

 H^' . . Hr—2 bezeichnen. 



Es besteht keine Relation zwischen P^, X^, Hy\ . Hr—2-, denn ent- 

 weder enthielte sie P^, sodass 



P^ = Sl{J„ H^..Hr-i) 



und daher 



\P,X,\^\SIX,\=^I^,\HIX,\ 



1 •^ 



wäre, was absurd ist, da die linke Seite gleich 1, die rechte gleich Null 



ist, oder aber es wäre X^ eine Function von H^ . . Hr—2 allein, also 



Lösung von (43), was in Widerspruch mit (42) steht. Endlich ist nach (40) 



\P,\HfH/i\ = \\H/P,\H:\-\-\\P,Hf\H/\, 

 mithin, da 



\P,H/\ = \P,H/\~0 

 ist: 



