Der dritte Fundamentalsatz. 399 



|Pi|^/^/|| = 0. 



Analog folgt 



\x,\h;h/\\ = o. 



Demnach erfüllen auch die \H/H/\ das vollständige System (43) und sind 

 infolgedessen Functionen von ///. . Hr-2 allein. 



Also haben wir gefunden: 



Giebt es unter den lIiHk\ oder — was offenbar auf dasselbe hinaus- 

 kommt — unter den \HiHi;\ auch nur einen einzigen nicht identisch ver- 

 schwindenden Ausdruck, so giebt es r von einander unabhängige Functionen 

 ^1) ^1) -öl . . Hr—2 von J/j . . //r, welche die Kelationen 



\p,x,\ = i, \p,h;\ = o, \x,h;\ = o 



0'=1, 2..r-2) 



erfüllen, während die ji^/i//, Functionen von H^..Hr-2 allein sind. 



Um dieses Ergebnis abzuleiten, haben wir nur davon Gebrauch ge- 

 macht, dass die \HiHt\ sich darch die H^ . . Hr ausdrücken und für be- 

 liebige Functionen der H^ . . Hr die Identität (40) besteht. Man erkennt, 

 dass eben diese Thatsachen auch für ///. . Ä^,-_2 richtig sind. Wir können 

 also für diese genau dieselben Schlüsse machen. Dadurch ergiebt sich: 

 Es giebt, sobald nicht alle .H/n/\E^O sind, r — 2 von einander unab- 

 hängige Functionen ^2, Pg, i//'. . 7/;'_4 von //",'. . Hr-2 derart, dass 



\p,x^\ = i, \p,Hj"\ = o, \x,h;'\ = o 



(i= 1, 2..r - 4) 



ist, während die \Hl'Hj"\ Functionen von H^'. . H'r'_i allein sind. 



Dieselbe Schlussweise können wir immer wieder anwenden, bis wir 

 schliesslich zu Functionen //('?+i) gelangen, für die alle !77/2+i)7//2 + i)| ==o 

 sind. Diese bezeichnen wir dann mit P^+i, Pqj^2 • • • Es ist auch mög- 

 lich, dass wir bei jedem neuen Schritte ein Paar P, X erhalten, für das 



, |PZ| = 1 ist. 



I Also ergiebt sich im Ganzen: 



Es existieren r von einander unabhängige Functionen P^-.Pq^ P24-1..P,,, 

 und Xi . . Xg von 11^ . . 7/^ derart, dass erstens natürlich m -}- q = r und 

 ausserdem allgemein : 



/44^ ||P.X,| = 1, |P,X,|^0 für i + Ä;, 



I|P,-P,|eEEO, \XiX,\EEEO 



ist. Die Annahme q = würde insbesondere dem Fall entsprechen, dass 

 alle Ca-a = wären. 



Umgekehrt fassen wir nun alle H^ . . H,„^q sowie f als Functionen Neue ver- 

 von P,..P„,, A'i . . Xg auf und haben zunächst: änderiiche 



cH. of I ^n^ df I 



