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Kapitel 15, § 4. 



Tnfinitesim. 



Trans- 

 formationen, 



Hieria sind die Summen über j und l immer bis m bez. q zu erstrecken, 



je nachdem j oder l Indices von den P oder den X sind. Nach (44) 



reduciert sich dieser Ausdruck, den wir von jetzt ab mit Äif bezeichnen, 

 bedeutend: 



Da nun nach (40) 



(i=l, 2..r) 



'dPj dX. 



, ^^i 



^f 



\Hi\H,f\\-\H,\H,f\\ = \\HM\f\ 



ist, so bestehen zwischen den A^f . . Arf wegen (39) paarweis Relationen 

 von der Form: 



(45) 



Ai{A,f) — A,{Aif) =^sCi,sA,f 

 1 

 (i, 7c =1, 2..r). 



Die Alf. . Arf sind infinitesimale Transformationen in den r Veränderlichen 

 P^ . . P„j, Xi . . Xq. Sie erzeugen, weil zwischen ihnen die Relationen (45) 

 bestehen, nach dem zweiten Fundamentalsatz eine Gruppe und zwar ent- 

 hält die Gruppe gerade soviele von einander unabhängige Transformationen, 

 als unter den Ausdrücken 



e^^i/'-f \- Cr Arf 



von einander unabhängige enthalten sind. 

 Wir bemerken nun, dass 



ist. In den Veränderlichen H^ . . Hr geschrieben sind daher die A^f.-Arf 

 infinitesimale lineare und homogene Transformationen: 



df 



(46) 



Aif- 



CiH H, 



dH, 



(i = 1, 2 . . r). 



Besteht zwischen ihnen eine Relation mit constanten Coefficienten e^ . . Cr'. 



CiAJ-\- ■ ■ --^r erArf:^0, / 



so ist auch der Klammerausdruck: 



^c«^o f 



daher insbesondere jedes 



r 



= 0, 



= (ä; = 1, 2 . .r). 



Hieraus folgt rückwärts, da f nur von U^ . . //;. abhängt, die vorhergehende 

 Relation, also auch 2!eiAif':E£ 0. 



