Der dritte Fundamentalsatz. 401 



Wir erkennen somit: Wenn es keine r nicht sämtlich verschwindende 

 Constanten e^ . . er giebt derart, dass \ZeiHi^ Hk\ für ä; = 1, 2 . . r stets 

 Null ist, so giebt es gerade r von einander unabhängige infinitesimale 

 Transformationen (46), die eine lineare homogene Gruppe in den Veränder- 

 lichen jffj . . Hr erzeugen, deren Zusammensetzung von den Ciks bestimmt 

 wird. Diese Aif lassen sich nach (46) sofort ohne Integration hinschreiben. 



Ist q == w, also die Zahl der X^ . . X^ gleich der Zahl der P^ . . Pmi 

 so haben die r Differentialgleichungen 



\HJ\=0, ..\Hrf\=0, 

 die ja äquivalent sind mit diesen: 



^.•/■| = (i=l, 2..q) 



\Pjf\ =0 (i= 1, 2..m) 

 oder nach (44) mit den 2^ Gleichungen: 



(47) dPj = ^^ i:^^ (i=l, 2..2), 



keine gemeinsame Lösung /". Es existiert dann kein Ausdruck ZCiHi^ der 

 mit Hl . . Hr combiniert stets Null liefert. In diesem Fall ist mithin die 

 von A^f . . Arf erzeugte lineare homogene Gruppe von der gewünschten '''?^'^'^"^*^ 

 Zusammensetzung gerade r-gliedrig. homogene 



Ist g < m, so besitzen die Gleichungen (47) zwar Lösungen. Es ist '^'"'^pp''- 

 aber möglich, dass sich unter ihnen keine von der Form SeiHi befindet, 

 dass also auch dann noch die A-^f . . Arf eine r-gliedrige lineare homogene 

 Gruppe von der gewünschten Zusammensetzung erzeugen. 



Um jedoch für g < m in allen Fällen sicher zum Ziele zu gelangen.Aiigemeiiier 

 benutzen wir 2 m Veränderliche ^"'^^' 



Xj . . Xg, Xg4-i . . Xm, P^ . . P, 



mi 



und es sollen H^ . . Hr die früher betrachteten Functionen von Xj . . X^ und 

 Pi . . Pm sein. Bedeuten Z7, V u. s. w. sowie f Functionen von allen 2 m 

 Veränderlichen, so führen wir das Symbol ein: 



(ur) = ^(^^^ ^-^^\ 

 ^^ n —j^ \dP, dx. ax. dpj 



Es liegt dann nahe zu vermuten, dass auch jetzt noch die Identität besteht: 



{{uv)w) + ({rw)ü) + {{wu)r)~o. 



Man kann dies bekanntlich durch Ausrechnung bestätigen. Setzen wir nun 



{H,f) = B,f (Ä:=l, 2..r), 

 so folgt hieraus wie früher, dass 



r 



Bi{B,f) - BuiBif) =^scasBJ 

 i 

 (i, fc = 1, 2 . . r) 



Lie, Continuierliche Gruppen. 26 



