402 Kapitel 15, §§ 4, 5. 



ist. Bif ■ • Brf sind infinitesimale Transformationen in den 2m Veränder- 

 lichen X^ . . X,„, Pi . , P,n und erzeugen der letzten Relationen halber nach 

 dem zweiten Fundamentalsatze eine Gruppe von der gewünschten Zu- 

 sammensetzung. Sie ist auch gerade r-gliedrig, denn wäre für nicht sämt- 

 lich verschwindende Constanten e^ . . Cr 



etBJ-\ \- erBrf=0, 



also für jede Function f von X^ . . X„,, Pj . . P,„ 



i^CiH,, n=o, 



so würde die Annahme /"=: X^, X.^ . . X„,, P^ . , P„, liefern, dass alle 



a^e,//, d^e.R, 



J J 



wären. UeiHi müsste also eine Constante sein, was aber deshalb un- 

 möglich ist, weil Hj^ . . H,. von einander unabhängige Functionen von 

 Xi . . X„ P, . . P,„ sind. 



Wir können also stets eine r-gliedrige Gruppe construieren, deren Zu- 

 sammensetzung durch die gegebenen Constanten C/as bestimmt wird. Man 

 erkennt, dass die Bestimmung dieser Gruppe im allgemeinen Fall nur die 

 Integration vollständiger Systeme verlangt, nämlich jener Systeme, durch 

 die Xj , . X^, P, . . P,„ als Functionen von H^^ , . Hr definiert wurden*). 



§ 5. Allgemeiner Überblick. 



Die drei Fuudameütalsätze, insbesondere der erste und zweite, 

 setzen uns in den Stand, folgende allgemeine Bemerkungen über end- 

 liche continuierliche Transformationsgruppen zu machen: 



Der erste Fundamentalsatz zeigte, dass mit einer r-gliedrigen con- 

 tinuierlichen Gruppe in n Veränderlichen mit der identischen Trans- 



*) Der erste Teil des dritten ^''uadamentalsatzes, dass bei vorgelegter Gruppe 

 die Relationen (36) und (37) zwischen den c^.^^ bestehen, lässt sich nicht einfacher 

 beweisen, als es zu Anfang dieses Paragraphen geschehen ist, nämlich mit Hülfe 

 der Jacobi'schen Identität. Den Beweis für die Umkehrung hat dagegen Herr 

 Schur auf kürzerem Wege erbracht, indem er direct Potenzreihen für die in- 

 finitesimalen Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe von der Zusammen- 

 setzung c^,.^ aufstellte. Die Entwickelungen des Textes leisten aber mehr, indem sie 

 unter Anderem unmittelbar zeigen, dass man durch Integration gewöhnlicher Diffe- 

 rentialgleichungen Gruppen von gegebener Zusammensetzung finden kann. An einer 

 anderen Stelle hat Lie gezeigt, dass die Integration dieser Differentialgleichungen 

 im ungünstigsten Falle nur nur noch Quadraturen verlangt. (Siehe Berichte der 

 Sachs. Gesellsch. der Wissenschaften 1889.) 



