Allgemeiner Überblick. 403 



forination gewisse nr Functionen ^ji{x^..Xn) zusammenhängen derart, 

 dass die Integration der Gleichungen 



dx'. -^ /i = 1, 2 . . WA 



mit den Anfangsbedingungen Xi'= Xi für ük = «a° die endlichen Glei- 

 chungen der Gruppe liefert. Wir sahen, dass sich anstatt der Para- 

 meter a^ . . ttr neue Parameter k^t . . Xrt — die wir jetzt mit e^t . . Crt 

 bezeichnen wollen — so einführen lassen, dass die endlichen Glei- 

 chungen der Gruppe insbesondere die Differentialgleichungen 



-JT =^'Ci^ki{x^- • ^n) (i = 1, 2 . . w) 

 1 



mit den Anfangsbedingungen xl = Xi für etwa ^ = erfüllen. 



Vergegenwärtigen wir uns nun, dass jede infinitesimale Trans- 

 formation 



8x^= rl^{x^ , .Xn)dt, .... dXn = nn{Xi- -OCr^dt 



eine eingliedrige Gruppe erzeugt, deren endliche Gleichungen durch 

 Integration des simultanen Systems 



dx^' dx'^ 



»71 (a;/ . • O ~ " ~ Vn^^i • • ^n) ~ 

 mit den Anfangsbedingungen x^' = x^, . . Xn = Xn für ^ = hervor- 

 gehen, so können wir diesen im vorigen Paragraphen schon angedeu- 

 teten Satz so aussprechen: 



Satz 8: Die endlichen Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe 

 mit den von einander unabhängigen infinitesimalen Transformationen 



n ^ . 



. ^kf =2] ^'^•'(*"i • • ^") ä^. (^ = 1 ; 2 . . r) 

 1 ' 



r 



lassen sich in oo''—^ eingliedrige Untergruppen ^jCkXkf anordnen. 



1 

 Dabei nennen wir wie schon gesagt X^f. . Xrf von einander unab- 

 hängig, sobald es keine lineare Relation zwischen "ihnen mit nicht samt- 

 lieh verschwindenden constanten Coefficienten giebt. Nach dem zweiten 

 Hauptsatze können wir kurz von der „Gruppe Xj/". . Xrf" sprechen, Gruppe 

 sobald die X^f. . Xrf paarweis Relationen mit constanten Coefficienten 

 Ca, erfüllen : 



r 



(X,X*) E^^c,*,X/ {i,k=l,2..r). 



1 



Beispiel : Betrachten wir alle Bewegungen des gewöhnlichen Beispiel. 

 Raumes, alle die Transformationen also, die den starr gedachten Raum 



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