404 Kapitel 15, § 5. Kapitel 16, § 1. 



in eine andere Lage überfuhren. Offenbar bilden sie eine Gruppe, 

 welche die identische und paarweis inverse Transformationen enthält. 

 Bekanntlich ist jede infinitesimale Bewegung eine infinitesimale Schrau- 

 bung, und jede infinitesimale Schraubung erzeugt offenbar eine ein- 

 gliedrige Gruppe von Schraubungen um dieselbe Axe mit gleicher 

 Steighöhe. iVus unserem Satze folgt also sofort einer der Hauptsätze 

 der Kinematik: Jede endliche Bewegung des Raumes lässt sich durch 

 eine bestimmte Schraubung um eine bestimmte Axe ersetzen. 



Es bedarf nun keines Nachweises, dass die allgemeinen Sätze über 

 Gruppen, die wir in der zweiten Abteilung ableiteten, mit den ent- 

 sprechenden Verallgemeinerungen auch für Gruppen in beliebig vielen 

 Veränderlichen gelten. So lauten z. B. die endlichen Gleichungen der 

 von den infinitesimalen Transformationen X^f . . Xrf erzeugten r-glie- 

 drigen Gruppe: 



r r 



Xi'= Xi -^-^ke^X^Xi + -^^^^k^e/,.eiXkXiXi H 



1 ' 1 



(vgl. § 2 des 7. Kap.), indem eine Function f(xj^ . . Xn) allgemein über- 

 geht in : 



r r 



f'=f+2'e,X,x^ -f ^^^,^e,e,X,XJ-j- • • -. 



Schliesslich sei noch bemerkt, dass wir später, namentlich in den 

 Beispielen, statt - — • • ^ — häufig abkürzend p^ . . pn schreiben, ent- 



sprechend in drei Veränderlichen x, y, z kurz _p, ^, r statt ^, ö— , ö- 



7) f 



setzen. Eine Verwechselung von r ^ t^- mit der Gliederzahl r einer 



° dz 



Gruppe ist dabei nicht zu befürchten. 



Kapitel 16. 



Transitivität, Invarianten nnd invariante Gleichungensysteme. 



Eines der wichtigsten Probleme der Gruppentheorie ist das, die 

 hei einer Gruppe invarianten Functionen und Gleichungensysteme m be- 

 stimmen. Handelt es sich z. B. um die ebenso schwierige wie wichtige 



