Die einem Punkt zugeordnete lj,leinste invariante Mannigfaltigkeit. 405 



Aufgabe, zu untersuchen, ob eine gegebene Gruppe durch Änderung 

 der Veränderlichen und Parameter in eine andere gegebene Gruppe 

 übergeführt werden kann, — eine Aufgabe, die wir im nächsten Kapitel 

 besprechen werden — , so kommt die Lösung dieses Problems, wie wir 

 sehen werden, im wesentlichen darauf hinaus, die bei einer gewissen 

 Gruppe invarianten Gleichungensysteme zu finden. Auch viele andere 

 wichtige Probleme in der Theorie der Differentialgleichungen und der 

 Geometrie führen auf die Untersuchung der invarianten Gebilde zurück. 

 Wir werden die Bestimmung der Invarianten und invarianten 

 Gleichungensysteme für Gruppen in drei Veränderlichen genau durch- 

 führen, dagegen für die Verallgemeinerung auf den Fall von n Ver- 

 änderlichen nur das Ergebnis formulieren. Diese Verallgemeinerung 

 bietet nämlich solchen Lesern, die mit dem Räume von n Dimensionen 

 zu operieren wissen, keine Schwierigkeiten. 



§ 1. Die einem Punkte zugeordnete kleinste invariante 

 Mannigfaltigkeit. 



Angenommen, es liege in den drei Veränderlichen x, y, z, die wir 

 als gewöhnliche Punktcoordinaten des Raumes deuten, eine r-gliedrige 

 Gruppe vor. Es seien Ta, Tf, . . . die Transformationen dieser Gruppe. 



Führen wir alle Transformationen der Gruppe auf einen Punkt p 

 des Raumes {x, y, z) aus, so wird er im Allgemeinen in unendlich 

 t viele Punkte {p)Taj (p) To . . . übergeführt, die eine continuierliche 

 f Mannigfaltigkeit bilden, da die Gruppe selbst continuierlich ist. Es 

 ist möglich, dass er in alle Punkte des Raumes oder nur in die Punkte 

 einer Fläche oder nur in die einer Curve übergehen kann oder endlich 

 sich gar nicht zu ändern vermag. 



Es gilt nun der sehr wichtige 



Satz 1: Führt man auf einen Fmikt p alle Transformationen Ta 

 einer Gruppe aus, sodass er in die Lagen 



(P) T. = {v.) 



übergeht, so bilden alle Fiinlce p^ eine bei der Gruppe invariante Mannig- 

 faltigkeit und zivar die kleinste invariante Mannigfaltigkeit, der der 

 Punkt p angehört. Jeder Funkt allgemeiner Lage auf dieser Mannig- 

 faltigkeit wird von den Transformationen der Gruppe in alle Funkte 

 dieser Mannigfaltigkeit übergeführt. 

 Denn, wenn 



