406 Kapitel 16, § 1. 



ist, so geht 2>i bei Ausführung einer Transformation Tb der Gruppe 

 über in 



Es ist dann auch: 



Da aber die Aufeinanderfolge der beiden Transformationen Ta, T^ der 

 Gruppe einer einzigen Transformation Tc der Gruppe äquivalent ist, 

 so ist 



Mithin liegt auch {p^) auf der Mannigfaltigkeit, die p bei allen Trans- 

 formationen der Gruppe beschreibt. Jeder Punkt ^^ dieser Mannig- 

 faltigkeit geht also bei der Gruppe immer in Punkte p^ dieser Mannig- 

 faltigkeit über, d. h. die Mannigfaltigkeit ist bei der Gruppe invariant. 

 Da p bei Ta, T^, Tc u. s. w. in alle Punkte allgemeiner Lage der Mannig- 

 faltigkeit übergeht und 



Mn = {p)T, 



ist, so folgt, dass auch Pi in alle Punkte dieser Mannigfaltigkeit über- 

 geht. Die Mannigfaltigkeit kann also auch dadurch erzeugt werden, 

 dass auf einen Punkt p^ allgemeiner Lage derselben alle Transforma- 

 tionen der Gruppe ausgeübt werden. 

 iifv^iriante ^^^^ ncunen die Mannigfaltigkeit der Punkte (p)Ta die Ideinste 



^^^^^ej^-mvariante M annig faltiglceit des Punktes p, weil p in alle ihre Punkte 

 Punktes. Überführbar ist. Es kann ja auch grössere invariante Mannigfaltig- 

 keiten geben, auf denen p liegt. Solche werden wir später kennen 

 lernen. Hier sei nur zur Veranschaulichung ein Beispiel erwähnt: Es 

 wäre denkbar, dass bei der vorgelegten Gruppe eine Fläche invariant 

 bleibt, dass aber ein Punkt dieser Fläche bei Ausführung aller Trans- 

 formationen der Gruppe nur eine Curve auf der Fläche beschreibt. 

 Dann ist die Fläche zwar invariant, aber keine kleinste invariante 

 Mannigfaltigkeit des Punktes p. Diese wäre vielmehr nur die Curve, 

 die p beschreiben kann. 



Wir können also einen Teil des Satzes 1 noch etwas anders so 

 aussprechen : 



Satz 2 : Ist p^ ein Funlä allgemeiner Lage der kleinsten invarianteii 

 Mannigfaltigkeit, die einem Punkte p zugeordnet ist, so hat p^ dieselbe 

 kleinste invariante Mannigfaltigkeit. 



Um den Satz 1 noch anschaulicher zu fassen, wollen wir ihn zu- 

 nächst für den Fall formulieren, dass p gerade eine Fläche beschreibt: 



Satz 3 : Kann hei einer Gruppe des Raumes ein Punkt p in alle 

 Punkte einer Fläche und in keine anderen Punkte übergeführt werden, 



