Die einem Punkt zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit. 407 



SO geht hei der Gruppe jeder Punld dieser Fläche stets wieder in Funkte 

 der Fläche über. Es kann überdies jeder Punkt allgemeiner Lage dieser 

 Fläche hei der Gruppe in alle Punkte der Fläche übergehen. 



Hierzu können wir dann noch hinzufügen: 



Satz 4: Der vorhergehende Satz gilt auch dann, wenn darin die 

 Fläche durch eine Ourve ersetzt wird. 



Die beiden letzten Sätze geben zusammengefasst wieder den Satz 1, 

 wenn wir noch hinzufügen, dass in dem Falle, dass p in alle Punkte 

 des Raumes überzugehen vermag, der Raum selbst die kleinste in- 

 variante Mannigfaltigkeit des Punktes p heisst. Die Formulierung in 

 Satz 1 ist aber deshalb von Nutzen, weil sie nicht nur für Gruppen 

 des gewöhnlichen Raumes gilt, sondern auch für Gruppen eines Raumes 

 von beliebig vielen Dimensionen, wenn man den Mannigfaltigkeits- 

 begriff entsprechend verallgemeinert. 



Bei allen Transformationen einer eingliedrigen Gruppe des Raumes: 



Xf= ^{x, y, z)p + y]{x, ij, z)q + t{x, y, z)r 



beschreibt ein Punkt, der nicht gerade in Ruhe bleibt, eine Curve, die 

 Bahncurve, die ihm durch die eingliedrige Gruppe X/" zugeordnet wird.r.ahncurvo 

 Die Richtung dieser Curve im Punkte {x, y, z) wird gegeben durch: 



dx dy dz 



^{x, y, z) ~~ rjix, y, z) ~~ t{x, y, zY 



und aus Satz 1 folgt, dass jeder Punkt dieser Bahncurve dieselbe 

 Bahncurve bei der eingliedrigen Gruppe X/" hat. 



Nun enthält eine r-gliedrige Gruppe <xf—^ verschiedene infinite- 

 simale Transformationen. Von jeder wird dem Punkte {x, y, z) eine 

 Fortschreitungsrichtung zugeordnet. Es mögen: 



X^f-EE lk{x, y, z)p + nk{x, y, ^)Q + tk(x, y, z)r 

 (/.- = !, 2..r) 



r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen der vor- 

 gelegten r-gliedrigen Gruppe sein. Die allgemeine eingliedrige Unter- 

 gruppe EckXkf ordnet dem Punkte {x,y,s) die Fortschreitungsrichtung 

 {dx, dy, dz) zu, für welche 



dx dy dz 



ist. Wir nennen allgemein q Fortschreitungsrichtungen eines Punktes 

 {x, y, z) von einander unabhängig, wenn sie nicht in einer nur {q — l)facheinauderui 

 ausgedehnten ebenen Mannigfaltigkeit enthalten sind. Im gewöhnlichen Fort- 

 Räume kommen hierbei nur diese Fälle in betracht; Drei J^ ort- richtungeE 



