408 Kapitel 16, § 1. 



schreitungsrichtungen eines Punktes sind von einander unabhängig, 

 wenn sie eine wirkliche körperliche Ecke bilden und also nicht alle 

 drei in einer Ebene liegen; zwei heissen von einander unabhängig, 

 wenn sie eine Ebene bestimmen und also nicht in eine Gerade zu- 

 sammenfallen. 



Hiernach sind unter den oo'"-^ Fortschreitungsrichtungen, die dem 

 Punkte (x, y, 2) bei der Gruppe XJ. . X^/" zugeordnet werden, gerade 

 drei von einander unabhängig, wenn nicht alle dreireihigen Deter- 

 minanten der Matrix 



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für den Punkt {x, y, z) verschwinden, gerade zwei, wenn zwar alle 

 dreireihigen, nicht aber alle zweireihigen Determinanten der Matrix 

 für den Punkt verschwinden, endlich gerade eine, wenn alle zwei- 

 reihigen Determinanten Null sind, nicht aber alle Glieder der Matrix. 



Es gilt nun der wichtige 



Satz 5 : Werden einem PunJcte bei einer Gruppe gerade q von ein- 

 iväia!i't"u^"^^^ ^unabhängige Fortschreitungsrichtungen zugeordnet, so ist die Ideinste 

 mg£äen}^^^^^^^^^ Mannigfaltigkeit, der jener Funkt angehört, gerade q-fach aus- 

 gedehnt 



Denn ein Punkt p kann jedenfalls nur in solche Punkte seiner Um- 

 gebung durch die Gruppe übergeführt werden, die auf der kleinsten 

 invarianten Mannigfaltigkeit des Punktes liegen. Ist diese Mannig- 

 faltigkeit eine Curve, d. h. einfach ausgedehnt, so hat er also höch- 

 stens eine Fortschreitungsrichtung, nämlich die Curventangente, ist sie 

 eine Fläche, d. h. zweifach ausgedehnt, so hat der Punkt p sicher nicht 

 mehr als zwei von einander unabhängige Fortschreitungsrichtungen, 

 nämlich solche in der Tangentialebene, ist endlich die Mannigfaltig- 

 keit der ganze dreifach ausgedehnte Raum, so könnte er drei von 

 einander unabhängige Fortschreitungsrichtungen haben. Hiermit ist 

 zunächst bewiesen, dass die kleinste invariante Mannigfaltigkeit, die 

 einem Punkte p mit gerade q von einander unabhängigen Fortschrei- 

 tungsrichtungen zugeordnet ist, sicher mindestens ^-fach ausgedehnt 

 sein muss. 



Aber sie ist auch, wie der Satz aussagt, gerade g-fach ausgedehnt. 

 Angenommen nämlich, sie sei s-fach ausgedehnt, sodass sicher s^q 

 ist. Nach Satz 1 kann jeder Punkt allgemeiner Lage dieser Mannig- 



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