Die einem Punkt zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit. 409 



faltigkeit durch die Gruppe in alle Punkte der Mannigfaltigkeit über- 

 geführt werden, insbesondere in alle Punkte seiner Umgebung auf der 

 Mannigfaltigkeit. Nach diesen Punkten gehen aber von ihm aus ge- 

 rade s von einander unabhängige Richtungen, so auf der Curve (s = l) 

 gerade eine, auf der Fläche (s = 2) gerade zwei, im Räume (s = 3) 

 gerade drei. Zu jeder dieser rauss es also eine infttiitesimale Trans- 

 formation UekXkf der Gruppe geben, die den Punkt gerade längs der 

 betreffenden Richtung fortführt. Mithin sind einem Punkte allgemeiner 

 Lage der betrachteten kleinsten invarianten Mannigfaltigkeit durch die 

 Gruppe s von einander unabhängige Fortschreitungsrichtungen zuge- 

 ordnet, insbesondere dem Punkte ji7. Es ist daher q = s, wie zu be- 

 weisen war. 



Wir heben hervor, dass der letzte Satz auch für Gruppen in einem 

 Räume von beliebig vielen Dimensionen gilt. 



Endlich können wir ihn analytisch formulieren, wenn wir die 

 vorausgeschickten Bemerkungen über die obige Matrix benutzen: 



Satz 6 : Die kleinste invariante Mannigfaltiglieit, die einem Punkte 

 {x, y, z) bei einer r-gliedrigen Gruppe 



Xkf= ik{x, y, z)p -f- rik{x, y, 2)q -\- ^x, y, z)r 

 {k = \,2 ..r) 



des Baumes (x, y, z) zugeordnet wird, ist der liaum selbst, tvenn nicJd 

 alle dreireihigen Determinanten der Matrix 



li ^;i ti 



I2 Vi ?2 



i- r]r Ir 



für den Funkt {x, y, z) verschwinden. Sie ist dagegen eine Fläehe, tvenn 

 zwar alle dreireihigen, nieht aber alle ziveireihigen Determinanten der 

 Matrix für den Punkt {x, y, z) verschwinden. Sie ist eine Curve, tvenn 

 auch alle zweireihigen Determinanten der Matrix, aber nicht alle Glieder 

 der Matrix für den Punkt {x, y, z) Null sind. Sie reduciert sich end- 

 lich auf den Punkt {x, y, z) selbst, d. h. der Punkt {x, y, z) ist für sich 

 invariant, wenn alle Glieder der Matrix für ihn Nidl sind. 



Wir werden diese allgemeinen Sätze nunmehr specialisieren, indem 

 wir im nächsten Paragraphen Punkte allgemeiner Lage im Räume ins 

 Auge fassen, im darauffolgenden solche besonderer Lage. Das Eine 

 führt zu den Begriffen: Transitivität, Intransitivität und Invariante, 

 das Andere führt zu allen bei einer Gruppe invarianten Gleichungen- 

 systemen. 



