410 Kapitel 16, § 2. 



§ 2. Transitivität, Intransitivität und Invarianten von Gruppen 

 des Kaumes (x, y, z). 



Eine r-gliedrige Gruppe des Raumes {x, y, z): 



Xkf= hix, y, z)p 4- rik{x, y, d)q -\- lk{x, y, z)r 

 {Jc=l, 2 . .r) 



Transitive j^gisst transitiv, wenn ein Punkt allgemeiner Lage vermöge der Gru^spe 

 in alle Punkte des Raumes (oder wenigstens in alle seiner Umgebung) 

 überführbar ist, wenn also die einem Punkt allgemeiner Lage zu- 

 geordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit der Raum selbst ist. 

 Nach Satz 6 des vorigen Paragraphen ist dies dann und nur dann 

 der Fall, wenn von der Matrix 



§1 ni li 



Ir %■ Ir 



nicht alle dreireihigen Determinanten für einen Punkt {x, y, z) all- 

 gemeiner Lage verschwinden, d- h. wenn nicht alle dreireihigen Deter- 

 minanten der Matrix identisch Null sind. 



Es giebt bei einer transitiven Gruppe sicher keine invariante 

 Function 0(x, y, 0). Denn wäre eine solche Function invariant und 

 führte eine Transformation der Gruppe den Punkt (x, y, z) in den 

 Punkt (r^i, ?/i, 0J über, so müsste 



^(^n Vi, ^1)== ^(^» y^ ^) 



sein, es müssten also die Punkte {x^, y^, z^), in die der Punkt allge- 

 meiner Lage (x, y, z) vermöge der Gruppe übergehen kann, auf einer 

 Fläche ^{x^, y^, 0,) = Const. liegen. Es wäre also die einem Punkte 

 allgemeiner Lage zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltigkeit höch- 

 stens zweifach ausgedehnt; die Gruppe wäre somit nicht transitiv. 

 lutranative Jede Gruppc, die nicht transitiv ist, heisst intransitiv. Bei einer 



Gruppe. ^ • 1 T 



solchen sind zwei verschiedene Fälle denkbar: Entweder ist die einem 

 Punkte allgemeiner Lage zugeordnete kleinste invariante Mannigfaltig- 

 keit eine Fläche oder eine Curve. Das Erstere tritt nach Satz 6 dann 

 und nur dann ein, wenn alle dreireihigen Determinanten der obigen 

 Matrix, nicht aber alle zweireihigen für einen Punkt allgemeiner Lage, 

 d.h. identisch verschwinden, das Letztere, wenn auch alle zweireihigen 

 Determinanten der Matrix identisch Null sind. 



Bei intransitiven Gruppen treten stets invariante Functionen auf. 

 Im ersten Fall nämlich kann jeder Punkt allgemeiner Lage vermöge 



