Transitivität, Intransitivität u. Invarianten von Gruppen des Raumes {x,y,z). 411 



der Gruppe noch eine Fläche beschreiben, und jeder Punkt allgemeiner 

 Lage einer solchen Fläche kann nach Satz 1 des vorigen Paragraphen 

 in alle Punkte der Fläche übergeführt werden. In diesem Fall wird 

 daher der ganze Raum in oo^ einzeln invariante Flächen 



^{x, y, z) = Const. 



zerlegt. Geht der Punkt {x, y, z) vermöge einer Transformation der 

 Gruppe in den Punkt, (a^i, y^, z^) über, so ist deshalb 



^(^n Vn ^i) = ^{X, y, Z). 



Die Function O bleibt somit invariant. Im zweiten Fall ist jedem limine 



-p,,,....™ . , ir^i Invariante. 



runkte eine invariante (Jurve zugeordnet und zwar nach Satz 1 des 

 vorigen Paragraphen einem Punkte allgemeiner Lage einer dieser 

 Curven eben diese Curve. Daher wird dann der ganze Raum in oo''^ 

 einzeln invariante Curven zerlegt, die durch zwei von einander unab- 

 hängige Gleichungen von der Form 



^{x, y, z) = Const., W{x, y, z) = Const. 



dargestellt werden. Geht der Punkt {x, i/, z) vermöge einer Trans- 

 formation der Gruppe in den Punkt (x^, y^, z^) über, so ist also: 



^(.^i, Vi, ^i) = ^(x, y, ^), '-P'C^i, !/,, ^i) = l'ix, y, z). 



Es treten daher in diesem Falle zwei von einander unabhänqiqe In- '^'y^^ 



^ "^ luyananten. 



Varianten auf. Natürlich ist jede Function von Q und ^P" allein auch 

 eine Invariante. 



Es ist klar, dass umgekehrt, wenn bei einer Gruppe nur eine in- 

 variante Function ^ vorkommt, jeder Punkt allgemeiner Lage an eine 

 Fläche Q == Const. gebunden ist, indem er vermöge der Gruppe in 

 alle Punkte allgemeiner Lage der Fläche überzugehen vermag, dass 

 aber, wenn bei einer Gruppe zwei von einander unabhängige invariante 

 Functionen 0, W vorkommen, jeder Punkt allgemeiner Lage an die 

 durch ihn gehende Curve ^ = Const., *?"= Const. gefesselt ist. 



Ist nun J{x^ y, z) überhaupt eine bei der vorgelegten Gruppe 

 X-^f' ■ Xrf invariante Function, so ist (vgl. die Schlussformel des 

 vorigen Kapitels): 



(1) J(x, y, z) + Ee,X,J{x, y, z) + 2:2:X,X,JH = J{x, y, z) 



für alle Werte von e, . . e^ und infolgedessen : 



^kekXkJ=0, 



also einzeln 



