412 Kapitel 16, § 2. 



(2) X,J=0 {k=\,2..r). 



Dies sagt aus, dass die Flächen J == Const. von Bahucurven jeder in- 

 finitesimalen Transformation ZlekX^f der Gruppe erzeugt sind. Da mit 

 (2) auch XiXjcJ'^O u. s. w. ist, so wird (1) infolge von (2) befriedigt, 

 d. h. J ist dann und nur dann eine Invariante, wenn diese Function 

 die r Forderungen (2) erfüllt. 



Hiernach kann man die eventuell vorhandenen Invarianten einer 

 Gruppe durch Integration des vollständigen Systems 



(1) XJ=0, ...Xrf=0 



in drei Veränderlichen x, y, 8 gewinnen. Dass diese Gleichungen ein 

 vollständiges System bilden, liegt darin, dass jedes 



X,(X,f) - X,(X,-/)ee:^c,,,Z/ 



ist. Ist die Gruppe transitiv, so verschwinden nicht alle dreireihigen 

 Determinanten der Matrix identisch, d. h. unter den Gleichungen (1) 

 sind drei von einander unabhängig, sie besitzen keine Lösung. 



Wenn aber die Gruppe intransitiv ist und also alle dreireihigen 

 Determinanten der Matrix identisch Null sind, so giebt es unter den 

 Gleichungen (1) höchstens zwei von einander unabhängige. Es giebt 

 gerade zwei, wenn nicht auch alle zweireihigen Determinanten der 

 Matrix identisch verschwinden, und sie besitzen alsdann gerade eine 

 gemeinsame Lösung f=^, d. h. es ergiebt sich eine Invariante, wie 

 wir schon wussten. VVenn aber auch alle zweireihigen Determinanten 

 der Matrix identisch verschwinden, so ist das vollständige System (1) 

 nur eingliedrig und hat demnach zwei von einander unabhängige 

 Lösungen f=0, W, sodass wir also zwei Invariante haben, wie es 

 nach unseren früheren Überlegungen auch sein muss. Hier haben alle 

 oo^-^ eingliedrigen Untergruppen UekXkf dieselben oo^ Bahncurven 

 = Const., W= Const. 



Theorem \Yir sind hiermit zu dem Theorem ffelangt: 



ber transi- " " 



atransuilc TheoreiE 28: Erzeugen r von einander unabhängige infini- 

 Gruppen. fßS2,male Transformationen 



Xuf^ ik{x, y,z)^-\- rjk{x, y, z) || + t,(x, y, 2) ^- 

 (ä:=1, 2..r) 



eine r-gliedrige Gruppe des Raumes (x, y, z) und verschwinden 

 nicht alle dreireihigen Determinanten der Matrix 



