Trausitivität, Intiansitivität u Invarianten von Giupppn des Raumes {x,y,z). 413 



^1 nx Ix 

 ^2 n-i ^2 



ir rjr ir 



identisch, so ist die Gruppe transitiv und besitzt keine In- 

 variante. — Verschwinden dagegen alle dreireihigen Determi- 

 nanten identisch, so ist die Gruppe intransitiv. Wenn dabei 

 insbesondere nicht auch alle zweireihigen Determinanten iden- 

 tisch Null sind, so besitzt die Gruppe nur eine Invariante 

 ^(^> Vy ^); ^«'e Lösung des ztveigliedrigen vollständigen Systems 

 ^if==^, ■ • Xrf=0. Jeder Punkt allgemeiner Lage ist als- 

 dann an die durch ihn gehende Fläche ^ == Const. gebunden 

 und kann bei der Gruppe in alle Punkte allgemeiner Lage der 

 Fläche überführt werden. Wenn aber auch alle zweireihigen 

 Determinanten der Matrix identisch verschwinden, so besitzt 

 die Gruppe zwei von einander unabhängige Invarianten 0(x,y,z) 

 und W(x, y, z), die Lösungen des eingliedrigen vollständigen 

 Systems XJ'= 0, . . Z,/= 0. Jeder Punkt allgemeiner Lage ist 

 alsdann an die durch ihn gehende Curve Q = Const., W= Const. 

 gebunden. — Die Flächen 0=Const. bez. die Curven 0=Const., 

 '*I^= Const. stellen dabei die kleinsten bei der Gruppe invarian- 

 ten Mannigfaltigkeiten dar, die in continuierlicher Schar den 

 ganzen Raum erfüllen. 



Beispiel: Die fünf infinitesimalen Trausformationen 

 xq — yp xp -\- yq -{- zr 

 x{xp + yq-{- zr) y{xp + «/g + zr) z(xp -\- yq-\- zr) 



erzeugen, wie man durch Klammerbilduug leicht nachweist, eine fünf- 

 gliedrige Gruppe. Ihre Matrix ist: 



Beispiel. 



— y 



X 

 X^ 



xy 



xz 



x 



y 



xy 



f 

 yz 







z 



xz 

 yz 

 z" 



Man findet, dass sämtliche dreireihigen Determinanten, nicht aber sämt- 

 liche zweireihigen identisch verschwinden. Die Gruppe ist foloflich 

 intransitiv und besitzt eine Invariante. Das vollständige System 

 ^i/ = 0, . . Xrf= reduciert sich hier auf das zweigliedrige: 



