Bestimmung aller bei einer Gruppe des Raumes inv. Gleichungensysteme u. s. w. 415 



nicht aber alle zweireihigen verschwinden, so können zwei Fälle eintreten: 

 Entweder sind alle diese dreireihigen Determinanten identisch Null und 

 der Raum zerfällt in c»^ einzeln invariante Flächen; oder aber sie sind 

 nicht identisch Nidl, bestimmen vielmehr, gleich Null gesetzt, eine invariante 

 Fläche oder eine discrete Anzahl solcher. Jeder PunU allgemeiner Lage 

 einer solchen Fläche kann in beiden Fällen vermöge der Gruppe in alle 

 benachbarten Funkte der Fläche übergehen. 



Denn nach Satz 6 ist jedem Punkte, für den alle dreireihigen, 

 nicht aber alle zweireihigen Determinanten verschwinden, eine Fläche 

 als kleinste invariante Mannigfaltigkeit zugeordnet und diese Fläche 

 ist für jeden Punkt allgemeiner Lage auf ihr kleinste invariante 

 Mannigfaltigkeit. Es muss daher auch notwendig oo^ solche Punkte 

 geben, wenn überhaupt solche Punkte auftreten. 



Wenn die zweireihigen, nicht aber alle einreihigen Determinanten 

 für gewisse Punkte Null sind, so finden wir analog den 



Satz 8 : Giebt es bei der Gruppe des Satzes 7 Funkte, für die Nuiisetzen 

 alle zweireihigen Determinanten der Matrix, nicht aber alle ^^, rik, t. reihigen 

 selbst verschwinden, so sind drei Fälle möglich: Entweder verschwinden minanten. 

 alle zweireihigen Determinanten identisch. Dann haben alle eingliedrigen 

 Untergruppen UCkXkf dieselben oo^ Bahncurven und der Raum zerfällt 

 in diese <x>^ invarianten Curven. — Wenn aber andererseits die zwei- 

 reihigen Determinanten nicht sämtlich identisch verschwinden , so können 

 sie gleich Null gesetzt erstens eine oder eine discrete Anzahl von Flächen 

 bestimmen. Jede derartige Fläche ist dann invariant und zerfällt in oo^ 

 einzeln invariante Curven, die kleinste invariante Teilgebiete sind. — End- 

 lich aber können die gleich Null gesetzten ziveireihigen Determinanten auch 

 nur eine oder eine discrete Anzahl von Curven bestimmen. Diese sind dann 

 kleinste invariante Teilgebiete. In allen drei Fällen ist vorausgesetzt, dass 

 für die betrachteten Punkte nicht alle ^/c, ^k, Ik verschwinden. 



Der Fall, dass nur für einzelne Punkte alle zweireihigen, nicht 

 aber alle einreihigen Determinanteji Null sind, ist deshalb unmöglich, 

 weil jedem solchen Punkte nach Satz 6 des § 1 als kleinste invariante 

 Mannigfaltigkeit eine Curve zugeordnet ist und also dasselbe für alle 

 oo^ Punkte dieser Curve gilt. 



Schliesslich ist noch der Satz zu formulieren: NuUgetzen 



Satz 9 : Giebt es bei der Gruppe des Satzes 7 Funkte, für die alle ^^. v 'i„- 



