416 Kapitel 16, § 3. 



li-, Vk, ?i- verschwinden, so sind diese PunJde einzeln invariant. Die 

 Gleichungen h,k = rjk =■ tk = (Je = 1, 2 . . r) bestimmen dann entiveder 

 isolierte invariante Punkte oder einige Curven mit lauter invarianten 

 Punkten oder einige Flächen mit lauter invarianten Punkten. 



invariantos J){q Vorangehenden Eutwickelungen sind vollständig und liefern 



chungen- jn jedem vorliegenden Fall eine Methode, alle kleinsten invarianten 

 Mannigfaltigkeiten zu bestimmen. Will man alle invarianten Mannig- 

 faltigkeiten finden, so hat man nur irgend eine analytisch definierbare 

 Schar von kleinsten invarianten Mannigfaltigkeiten zusammenfassen. 

 Damit sind dann alle invarianten Gleichungensysteme bestimmt. 



Hiermit ist auch eine früher gebliebene Lücke ausgefüllt: Die Kri- 

 terien, die sich in § 3 des 8. Kap. für die Primitivität oder Imprimi- 

 tivität einer Gruppe der Ebene [x, y) ergaben, sind nicht nur, wie 

 dort bewiesen, notwendig, sondern auch hinreichend. Wie man im 

 Fall, dass die dortigen Jm alle Null sind, verfährt, ist ebenfalls leicht 

 einzusehen. Man hat nur zu bedenken, dass es dort darauf ankam, 

 die bei der erweiterten Gruppe in den drei Veränderlichen x, y, y in- 

 varianten Gebilde zu bestimmen. 



Endlich ist noch zu bemerken, dass wir immer nur im Endlichen 

 gelegene Gebilde ins Auge gefasst haben. Wie man auch unendlich 

 ferne mit tlülfe homogener Coordinaten exact untersuchen kann, werden 

 wir im nächsten Paragraphen in einigen Beispielen sehen. 



Beispiele 



Es ist sehr nützlich, die verschiedenen Möglichkeiten invarianter 

 Gebilde in Beispielen kennen zu lernen. Wir geben daher mehrere 

 solche. 

 Proj. Gruppe 1. Bcispicl : Die infinitesimalen Transformationen 



einer Curve 



S.Ordnung. p -{-2xq-^^yr 



xp + 2yq -j- 3^r 

 ^(x^p + xyq -j- xs!r) — 2yp — 2q 



erzeugen eine dreigliedrige Gruppe, wie man durch Klammerbildung 

 erkennt. Hier verschwindet die dreireihige Determinante 



Sx'' 



= _ 3(4a;3^ - 3^2^^ _|. 4^3 _ Q^y^ _^ ^2) 



nicht identisch. Die Gruppe ist demnach transitiv. Die dreireihige j 

 Determinante verschwindet nur für die Punkte der Fläche vierter . 

 Ordnung : 



