Bestimmung aller bei einer Gruppe des Raumes inv. Gleichungensysteme u. s. w 417 



4x^z — 3x^y^ -\- Ay^ — ßxyz -\- s- = 0. 



Setzen wir alle zweireihigen Determinanten gleich Null, so ergiebt 

 sich die Raumcurve dritter Ordnung 



y — x^ = 0, z — a;^ = 0. 



Alle einreihigen Determinanten verschwinden für keinen im Endlichen 

 gelegenen Punkt. Jene Fläche vierter Ordnung und diese Raumcurve 

 dritter Ordnung sind die beiden einzigen 

 invarianten Mannigfaltigkeiten (im End- 

 lichen) und zwar kleinste. Die Gruppe be- 

 steht aus allen projectiven Transformationen 

 des Raumes, welche die Curve dritter Ord- 

 nung invariant lassen, also aus den Trans- 

 formationen, die Ebenen in Ebenen und die 

 Punkte der Curve unter einander transfor- 

 mieren*). Da ist es denn selbstverständ- 

 lich, dass die von Schmiegungsebenen der 



Curve umhüllte Fläche, also die Developpabele der Curve, invariant 

 bleibt, da Schmiegungsebene in Schmiegungsebene übergeht. Diese 

 Fläche ist eben jene Fläche vierter Ordnung. (Fig. 35.) 



2. Beispiel: Bei der von den infinitesimalen Transformationen 



q -{- xr 

 yq^zr 



Fig. 3.5. 



Proj. Grupi 



aller Er- 



zeugendei 



einer Scha 



einer Fläcl 

 2. Ordnunj 



{xy — z)p -\- y'^q -f yzr 



erzeugten dreigliedrigen projectiven Gruppe verschwindet die Deter- 

 minante 



Ix 







nicht identisch, 

 zweiten Grades 



y =— {xy — zf 

 xy — z y^ yz 



Die Gruppe ist also transitiv und lässt die Fläche 

 xy — ^ == 



invariant. Nullsetzen aller zweireihigen Determinanten giebt ebenfalls 

 diese Fläche. Alle Punkte der Fläche haben also nur je eine Fort- 

 schreitungsrichtung, die Fläche zerfällt in kleinere invariante Mannig- 



*) Obgleich wir die projectiven Transformationen des Raumes noch nicht 

 besprochen haben, wird es dem Leser nicht schwer fallen, die Theorie der pro- 

 jectiven Transformationen der Ebene auf den Raum zu übertragen (vgl. 19. Kap.). 



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