Bestimmung aller bei einer Gruppe des Raumes inv. Gleichungensysteme u s. w. 419 



4. Beispiel : Bei der im vorigen Paragraphen betrachteten eben-^'oj Gruppe 

 falls projectiven Gruppe Kegeischai 



xq — yp 



xp -\- yq -\- zr 

 x^p -f- xyq + ^^^ 



xyp + y^a + y^^ 



haben wir die Matrix: 



Die dreireihigen Determinanten verschwinden sämtlich identisch, die 

 Gruppe ist intransitiv. Die zweireihigen Determinanten verschwinden 

 nicht sämtlich identisch. Daher kommt gerade eine Invariante vor, 



nämlich die bereits früher bestimmte — :;r^ j ^^^ gleich Constaus ge- 

 setzt, eine Kegelschar vorstellt. Die zweireihigen Determinanten 

 verschwinden aber einmal für x = y = i), dann auch für z = (), 

 ^2 _|_ ^2 __ Q^ g^jgQ £qj. ^jg Punkte der 0-Axe und für die beiden ima- 

 ginären Geraden, die in der a;?/- Ebene vom Anfangspunkt aus nach 

 den imaginären Kreispunkten gehen. Die einreihigen Determinanten 

 verschwinden sämtlich im Endlichen nur für den Anfangspunkt 

 X = y = z = ^. Es bleiben also ausser den schon früher bestimmten 

 Kegeln im Endlichen nur noch die genannten drei Geraden und der 

 Anfangspunkt invariant. Alle diese Gebilde sind kleinste invariante 

 Mannigfaltigkeiten, mit anderen Worten : Ein Punkt eines derselben 

 geht vermöge der Gruppe in alle Punkte desselben über. . Die Gruppe 

 besteht, wie man zeigen kann, aus allen projectiven Transformationen, 

 die jeden der obigen oo^ Kegel in Ruhe lassen. 



5. Beispiel : Die dreigliedrige projective Gruppe : 



p -j- q -\- {x -\- y)r 

 xp -{- yq -\- 2zr 

 (x- + xy — z)p + (xy -\- y^ — z)q + {x -\- y)z) 

 ist intransitiv, da ihre Determinante 

 1 1 



Proj. Grupp 



einer Fläch 



2. Ordnung 



und einer 



Ebene. 



x-\-y 



2z 

 xz + yz 







x y 



x^ -\- xy — z xy -\- f - 



ist. Die zweireihigen Determinanten verschwinden nicht sämtlich iden- 



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