Bestimmung aller bei einer Gruppe des Raumes inv. Gleichungensysteme u. s. w. 42 1 



^1 -^3 f 



Nullsetzen aller einreihigen : 



OC^ ' ' ' *^^ — yj . 



Deuten wir Xi, x^, x^ als gewöhnliche Punktcoordinaten im Räume, 

 so sehen wir: Die Gruppe ist transitiv. Es bleibt bei ihr der Kegel 

 zweiten Grades 



und eine Tangentialebene des Kegels 



Xs = 

 invariant. Ferner giebt es eine einzeln invariante 



Gerade 



x^ == x^ = u, 



nämlich die Kegelkante, längs deren die Ebene berührt. 

 Schliesslich bleibt noch die Spitze x^ = x.^ = x^ = 

 des Kegels in Ruhe. (Fig. 36.) Jeder Punkt allge- 

 meiner Lage auf dem Kegel bez. in der Ebene kann 

 vermöge der Gruppe den ganzen Kegel bez. die ganze 



Ebene durchlaufen, ebenso ein Punkt jener Kante die ganze Kante. — 'l^J^^l'^^^^ 

 Wenn wir mm andererseits x^, x^,.x.^ als homogene Coordinaten in fZera der Ebene 



Fig. 30. 



Ebene {xy) deuten, indem wir etwa 





= y 



setzen, so haben wir eine Gruppe der Ebene vor uns. Bei ihr bleibt 



der Kegelschnitt 



a;2 _ 21/ = 



in Ruhe, sowie eine unendlich ferne Tangente {x^ = 0). x^ = ajg = 

 stellt jetzt einen invarianten Punkt dar, nämlich den unendlich fernen 

 Berührpunkt, während x^ =- x.^ = x^ -= jetzt, da wir es mit homo- 

 genen Coordinaten zu thun haben, kein invariantes geometrisches Ge- 

 bilde liefert. Wenn wir die Incremente 



;s, ^ a;, x^d x^ — x^ dx^ 



ö a; = — =^ — j , 



bei der Gruppe berechnen, so liefern die beiden ersten infinitesimalen 

 Transformationen m x, y: 



p -\- xq 



xp + 2yq, 



