422 



Kapitel 16, §§3, 4. 



während bei der dritten x, y gar nicht geändert werden, p -^ xq 

 xp + 2yq stellt aber die projective Gruppe dar, die den Kegelschnitt 

 x^ — 2?/ = und seinen unendlich fernen Punkt in Ruhe lässt. 



§ 4. Zur Bestimmung aller bei einer Gruppe in n Veränderlichen 

 invarianten Gleichungensysteme. 



Es ist nicht schwer, unsere Theorien auf Gruppen in beliebio- 

 vielen Veränderlichen zu übertragen. Es gelingt dies ohne Mühe 

 wenn man den Begriff eines Raumes von n Dimensionen benutzt und 

 überhaupt den Mannigfaltigkeitsbegriff auf beliebig viele Dimensionen 

 ausdehnt. 



F«r unsere Zwecke mag es genügen, wenn wir nur das Ergebnis 

 dieser Verallgemeinerung als Theorem formulieren und es durch Bei- 

 spiele erläutern. Eine detaillierte Durchführung der früheren Betrach- 

 tungen für n Veränderliche findet der Leser an anderer Stelle*). 

 E^nlr Theorem 29: Erzeugen r von einander unabhängige infini- 

 tesimale Transformationen 



df 



^./■^^l.-^ (Ä = l, 2..r) 



in n Veränderlichen x^ . . Xn eine r-gliedrige Gruppe, so be- 

 sitzt sie keine Invarianten und heisst alsdann transitiv, wenn 

 nicht alle n-reihigen Determinanten der Matrix 



b22 ■ ■ 52 



921 



Sri ?r2 • • fer 



identisch verschwinden, sodass insbesondere dann auch n> r 

 sein muss. Die Gruppe heisst im anderen Falle intransitiv 

 und besitzt gerade q von einander unabhängige Invarianten 

 ^1, ^2 • • ^Q, sobald zwar alle (n — q -{- l)-reihigen, nicht aber 

 alle (n — Q)-reihigen Determinanten der Matrix identisch ver- 

 schwinden. Alsdann wird der Raum der Wertsysteme x^. .Xn in 

 oo? einzeln invariante Teilgebiete 



^1 == «1, ^2 = «2> • • ^'J = CIq 



zerlegt. Auch ist jedes Gleichungensystem zwischen 0, , . cP^, 



*) Sophus Lie, Theorie der Transformationsgruppen , I. Abschnitt bearb. 

 unter Mitwirkg. von Engel, Leipzig 1888, Kap. 14. 



1 



