Zur Bestimmung aller bei einer Gruppe in n Veränderl. inv. Gleichungensysteme. 423 



allein hei der Gruppe invariant und stellt eine invariante 

 Mannigfaltigleit dar. — Es Icann aber sowohl hei intransitiven 

 als auch hei transitiven Gruppen noch andere invariante Glei- 

 chungensysteme gehen. Sie zu finden, setze man alle {q + 1)- 

 reihigen Determinanten der Matrix gleich Null. Gieht es oop 

 Wertsysteme x^ . . Xn, für welche zwar diese, nicht aher alle 

 q-reihigen Determinanten verschwinden, so stellt ihre Gesamt- 

 heit ein invariantes Gleichungensystem dar, dem eine p-fach 

 ausgedehnte invariante Mannigfaltigkeit im Baume der x^ . . Xa 

 entspricht. Jeder Punkt {x^..'Xn) dieses Baumes, der auf der 

 Mannigfaltigleit liegt, erfährt hei der Gruppe gerade q von 

 einander unabhängige Fortschreitungsrichtungen , sodass die 

 Mannigfaltigkeit, wenn q<p ist, in <x>i-p einzeln invariante 

 Mannigfaltigkeiten zerfällt. Auf diese Weise findet man, 

 indem man q alle Werte 0, l..r hez. n durchlaufen lässt, alle 

 hei der Gruppe einzeln invarianten kleinsten Mannigfaltig- 

 keiten. Jede invariante Mannigfaltigkeit ist entweder eine 

 dieser kleinsten, oder sie hesteht aus einer Schar von solchen. 

 Entsprechendes gilt von jedem invarianten Gleichungensystem. 



1. Beispiel: Die vier von einander unabhängigen infinitesimalen Bcispieio 

 Transformationen : 



x^p^ + 2x^p., + 3:r22)3 



x^p^ + 2x^m + orrgPg 

 2xc^p^ + xüh + ?>x^P^ 

 XxPi + x.,p., + a^gpg + x^i\ 



erzeugen eine Gruppe, wie man leicht beweist. Hier ist die Deter- 

 minante 



Proj. Grup] 

 einer Cun 

 3. Ordnuu 

 in liomog 

 Coordinal 



2x^ 3a:, 



^ 30a 











 Zx^ 



= — 3(4a:i^a;3 — ?>xcx^ + ^x^x^ 



— OX^X^X^X^ — [— Xq X^ j 



nicht identisch Null. Die Veränderlichen x^, x^, x^, x,^ wollen wir — 

 indem wir von obigen der Deutung im Räume von vier Dimensionen 

 keinen Gebrauch macheu — als homogene Punktcoordinaten eines 

 Raumes von drei Dimensionen auffassen, indem wir 



X = 



^1 





z = — 



als gewöhnliche rechtwinklige Coordinaten benutzen. Alsdann bestimmt 



