424 Kapitel 16, § 4. 



die Gruppe projective Transformationen des Raumes, denn die Grlei- 

 chung einer beliebigen Ebene 



wird vermöge der infinitesimalen Transformationen der Gruppe wieder 

 in lineare homogene Gleichungen übergeführt. Die infinitesimale Trans- 

 formation x^p^ -\- x^]ß^ + x^p^ + x^p^ ändert x,..x^ sämtlich um den 

 gleichen Factor, lässt also die Punkte des Raumes {x, y, z) in Ruhe, 

 da es bei homogenen Coordinaten nur auf die Verhältnisse ankommt. 

 Daraus lässt sich schliessen, dass unsere Gruppe in gewöhnlichen 

 Coordinaten x, y, z geschrieben bloss dreigliedrig ist. In der That 

 bestimmt unsere Gruppe dieselben Transformationen des Raumes wie 

 die in Beispiel 1 des § 3 behandelte. Man kann dies durch Berechnung 

 der Incremente von x, ij, z ohne Mühe einsehen. Nullsetzen der obigen 

 Determinante giebt eine Fläche vierter Ordnung, für deren Funkte 

 nicht auch sämtliche dreireihigen Determinanten identisch Null sind. 

 Die dreireihigen Determinanten verschwinden vielmehr nur dann sämt- 

 lich, wenn 



X^X^ == X-^ , ^^3^4" = X-y 



oder, nicht -homogen geschrieben: 



y == x^, z = x^ 



ist. Dies giebt die uns bekannte Raumcurve dritter Ordnung. Die 

 zweireihigen Determinanten sind Null für x^ = x^ = x^ = x^ = 0. 

 Diesen Werten entspricht aber kein Punkt des Raumes. Der Vorzug 

 der homogenen Behandlung der projectiven Gruppe der Raumcurve 

 dritter Ordnung vor der früheren besteht darin, dass wir jetzt auch 

 das Unendlichferne behandeln können, denn x^ = stellt die unend- 

 lich ferne Ebene dar. Wir sehen, dass kein unendlich fernes Gebilde 

 invariant bleibt. 



Wie in diesem Beispiel, so ist allgemein zu bemerken, dass die 

 in Theorem 29 gegebene begriffliche Deutung bei Benutzung homo- 

 gener Coordinaten sich insofern ändert, als in diesem Falle ein Punkt 

 nur dann q von einander unabhängige Fortsehreitungen erfährt, sobald 

 nicht alle (q + 1) reihigen Determinanten für ihn Null sind. Wir be- 

 gründen dies in Kap. 19 genauer. 



ne?Ge?' ^- ^^^^P^^- Ähnlich behandelt man die anderen Beispiele des 

 Sar'luf'^^"^^" Paragraphen. So lässt die Gruppe 



er Fläche 



Ordnung. X,p, -{- X,p, X,p, + X,p, X,p, -^ X,p^ X,p, -{- X^p^ 



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