Zur Bestimmung aller bei einer Gruppe in nVeränderl. inv. Gleichungensysteme. 425 



bei Einführung nicht homogener Coordinaten x, y, z wie im 1. Beispiel 

 alle Erzeugenden der einen Schar der Fläche zweiter Ordnung z = xy 

 in Ruhe. 



5. Beispiel: Bei der Gruppe aerÄTiey" 



sehen 



Xii\ -\- 2x.^p^ + Sajgpg 



die sich bei der Deutung von x^^, x^, x^, x^ als homogene Punkt- 

 coordinaten des Raumes {x, y, £) : 



X = —, y = -~, z = -^^ 



,ft / */ /VI / M 



mit der projeetiven Gruppe der Cayley'schen Linienfiäche im 3. Bei- 

 spiel des vorigen Paragraphen deckt, ist die Determinante 



'4 V 1 2 4 H 4 1 / 



nicht identisch Null. Sie stellt gleich Null gesetzt die Cayley'sche 

 Fläche und die Ebene x^ = 0, d. h. die unendlich ferne Ebene dar. 

 Nullsetzen der dreireihigen Determinanten giebt: 



Nullsetzen der zweireihigen : 

 Nullsetzen der einreihigen : 



Letzteres ist in homogenen Coordinaten bedeutungslos. Invariant sind 

 I also zunächst die Cayley'sche Fläche und die unendlich ferne Ebene, 

 ; ferner die Gerade x^^^ x^ = 0, d. h. die unendlich ferne Gerade der 

 i Ebene x = und als einzeln invarianter Punkt der unendlich ferne 

 i Punkt der ^-Axe. Alle diese Gebilde sind kleinste invariante Mannig- 

 ': faltigkeiten. Die Invarianz der unendlich fernen Ebene bedeutet, da 

 j die Gruppe projectiv ist, dass Parallelen in Parallelen übergehen, 

 j die Invarianz der unendlich fernen Geraden der Ebene x = 0, dass 



Parallelen zu dieser Ebene in ebensolche, die Invarianz des unendlich 



