Kriterium der Ähnlichkeit zweier Gruppen. 427 



die von einander unabhängige Functionen von a^ . . ür sind, so stellen 

 selbstverständlich auch die hervorgehenden Gleichungen: 



yi = h(yi--yi, (^i-'(^r) (i = i,2..«) 



eine Gruppe dar, nämlich die Gruppe (2) selbst, nur in anderer ana- 

 lytischer Fassung. 



Diese Bemerkungen führen uns dazu, den schon in § 4 des 6. Kap. 

 angedeuteten Begriff der Ähnlichkeit zw.eier Gruppen in der folgenden 

 Weise auf n Dimensionen auszudehnen und zu definieren : 



Zwei r-gliedrige Grupqen Äbniichk"it' 



(1) xl= fi{x^ . . Xn, Ol . .ttr) (i= l, 2 ..n) 



(3) t//= K^i ..yn,ü^..ar) (i=l, 2 .. n) 



hcissen ähnlich, wenn die eine durch Einführung neuer Veränderlicher 

 und Parameter 



(4) IJ; = (Oi{x^ . .Xn) (i = 1 , 2 . . n) 



ak = «^.(«1 . . a,.) (/^ = 1, 2 . .r) 



in die andere übergeführt iverden Jcann. 



Durch Benutzung des Begriffes der infinitesimalen Transforma- 

 tionen gelingt es nun, dieser Definition eine wesentlich einfachere 

 Form zu geben, die praktisch den Vorzug verdient. 



Die Gruppe (1) wird von r von einander unabhängigen infinite- "io '"f- 



1 ry, p . ° ° 'i'rf. zweier 



simalen Iransformationen erzeugt: ähnlicher 



Gruppeu. 



n 



X,f = ^ihi(x, . . x,;)^ (Ä; = 1, 2 . . r), 

 die Gruppe (3) etwa von diesen: 



n 



Y^f^^nuiil, . . Vn) 11^ (Ä = 1, 2 . . r) . 



Wir wissen, dass die Gruppe (1) in oo''-^ eingliedrige Untergruppen 

 zerfällt. Vermöge (4) geht jede dieser eingliedrigen Untergruppen in 

 eine eingliedrige Untergruppe der Gruppe (3) über — nach Satz 5, 

 § 4 des 6. Kap. Mithin geht auch jede infinitesimale Trausformation 

 Xkf von (1) vermöge (4) in eine infinitesimale Transformation von 

 (3) über*). X^f wird somit vermöge (4) die Form 2^ Const. Yf an- 

 nehmen. 



*) Vgl. hierzu „Diffgln. m. inf. Trf.", § 2 des 14. Kap. 



