428 Kapitel 17, § 1. 



Wenn umgekehrt die infinitesimalen Transformationen XJ. . Xrf 

 einer r-gliedrigen Gruppe (1) vermöge einer Substitution (4) in die 

 infinitesimalen Transformationen ZI Const. Yf einer anderen r-gliedrigen 

 Gruppe Y^f. . Yrf übergehen, so gehen die von den Xkf erzeugten 

 eingliedrigen Gruppen vermöge (4) in die von den Z' Const. Yf er- 

 zeugten über, d. h. die Gruppe XJ. . Xrf wird durch die Transforma- 

 tion (4) in die Gruppe Y^f. . Yrf verwandelt. 



Daher sagen wir: 



Satz 1: Zwei r-gliedrige Gruppen in gleichvielen Veränderlichen 

 sind dann und nur dann mit einander ähnlich, wenn es eine Transforma- 

 tion giebt, die r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 

 der einen in solche der andern überführt 



Wir wissen ferner, dass eine Transformation, die üf und Vf in, 

 sagen wir, TJf und Vf überführt, auch 



U(Vf)-V{Uf) 



iö _ _ _ _ 



U(Vf)-V(Uf) 



oder kurz (UV) in (UV) verwandelt*). Nach dem Hauptsatze be- 

 stehen nun zwischen X^f. . Xrf paarweis Beziehungen von der Form 



r 



(XiX,) =^Ci,,Xsf (i, /^ = 1, 2 . . r), 



1 



in denen die c,!« Constanten sind. Wenn nun XJ'..Xrf vermöge (4) 

 in 5)i/'. . ^rf übergehen, so muss also auch 



r 



(%%)=^c^>^m 



sein. Die 3)i/". . ^r/ sind aber bei der Voraussetzung, dass die Gruppen 

 X^f .. Xrf yxndi Y^f..Yrf vermöge (4) mit einander ähnlich seien, 

 r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe 



YJ. . Yrf 



Daher folgt: 

 Klammer- ^^^^ ^' ^^^^ ^^^^ r-glicdrigc Gruppen X^f . . Xrf und Y^f. . Yrf 



ausdrücke ^^ einander ähnlich, so enthält die Gruppe Y^f . . Yrf immer r solche 



zweier 

 ähnlicher 

 Gruppen. 



*) Von diesem Satze haben wir schon hin und wieder stillschweigend Ge- 

 brauch gemacht. Er folgt sofort daraus, dass die Gleichungen 



Uf=Üf, Vf=Vf, 



die vermöge der Transformation identisch bestehen, die Gleichung 



U{Vf)-ViUf)==Ü{Vf)-V{Uf) 

 nach sich ziehen. 



