Kriterium der Ähnlichkeit zweier Gruppen. 429 



von einander unabhängige infinitesimale Transformationen ^if. . ^rf, dass 

 in den Gleichungen 



r 



(?).•?)*) =^d,km {i, 1c=l,2..r) 



die Constanten d,ics dieselben Zahlenwerte wie die entsprechenden Con- 

 stanten in den Gleichungen 



r 



(XiX,) =^Ci,,X,f {i, ]c=l,2..r) 



besitzen, sodass also dju == Cjks ist. 



Dieser Satz lässt sich unter Benutzung einer sich von selbst dar- 

 bietenden Redeweise kürzer so ausdrücken: 



Satz 3: Zwei mit einander ähnliche Gruppen sind immer gleich- 

 zusammengesetzt*). 



Jedoch das hiermit gefundene Kriterium reicht noch nicht für die 

 Ähnlichkeit zweier Gruppen aus. Z. B. die Gruppen in x, y. p yp 

 und p q sind beide zweigliedrig und gleichzusammengesetzt. Dennoch 

 giebt es offenbar keine Transformation, vermöge deren die erste in 

 die zweite übergehen könnte, denn bei der ersten bleiben oo"^ Curven 

 y = Const. einzeln in Ruhe, während bei der zweiten keine oo^ ein- 

 zeln invariante Curven vorhanden sind. 



Um zu hinreichenden Kriterien für die Ähnlichkeit der beiden . ^-^^ 



Ableitung 



Gruppen X.^f. . Xrf und Y^f. . Yrf zu gelangen, stellen wir folgende^^^eiciienci. 

 Überlegungen an : Äimiichkeit. 



Da die r infinitesimalen Transformationen X^f. . Xrf \on einander 

 unabhängig sind, so besteht zwischen ihnen keine lineare Relation 

 mit Constanten Coefficienten. Wohl aber können zwischen ihnen 

 lineare Relationen mit von x^ . . Xn abhängigen Coefficienten bestehen. 

 Um sogleich den allgemeinen Fall ins Auge zu fassen, wollen wir an- 

 nehmen, dass sie durch r — q verschiedene lineare Relationen ver- 

 bunden sind. Alsdann können wir die infinitesimalen Transformationen 

 der Gruppe so auswählen, dass zwischen den q ersten: X^f. . Xqf keine 

 lineare Relation vorhandjen ist, während die r — q übrigen: Xq^if. . Xrf 

 sich durch jene in dieser Weise ausdrücken lassen: 



*) Führt man den Begriff des holoedrischen Isomorphismus ein, der zum 

 Schluss des § 4 des 5. Kap. gestreift wurde, so kann man zeigen, dass zwei gleich- 

 zusammengesetzte Gruppen immer holoedrisch isomorph sind, und umgekehrt. 

 Infolgedessen lässt sich der obige Satz auch so aussprechen: Zwei mit einander 

 ähnliche Gruppen sind stets holoedrisch isomorph. 



