Kriterium der Ähnlichkeit zweier Gruppen. 431 



weder einander tvider sprechen noch eine Relation zwischen x^ . . Xn allein 

 oder yi . .yn allein nach sich ziehen. 



Es kann umgekehrt bewiesen werden, dass die vier hier ange- 

 gebenen Bedingungen auch für die Ähnlichkeit der beiden Gruppen 

 X^f. . Xrf und Yj^f. . Yrf hinreichen. Wir wollen aber diesen Beweis 

 der ürakehrung hier nicht bringen*), sondern nur einen speciellen, 

 aber besonders interessanten Fall vollständig behandeln, den Fall näm- 

 lich, dass n = r = q ist. 



Immerhin giebt uns Satz 4 doch schon Mittel an die Hand, in 

 bestimmten Beispielen die Frage, ob zwei vorgelegte Gruppen mit 

 einander ähnlich sind, zu entscheiden. 



Beispiel:^ Wir wollen untersuchen, ob die Gruppe Beispiel. 



q p -jr xq xp -\- 2yq 

 in X, y sich in die Gruppe 



in x^ , y^ überführen lässt. Zunächst sind beide Gruppen gleichzu- 

 sammengesetzt. Zwischen den beiden ersten injfinitesimalen Transfor- 

 mationen jeder der Gruppen besteht keine lineare Relation. Wohl 

 aber ist die dritte infinitesimale Transformation jedesmal durch die 

 beiden ersten linear ausdrückbar, denn es ist: 



(5') xp +2yq = (2y — x') ■ q -\- x • {p -]r xq), 



^iPi + ^yiQi = ^yi • ^1 + ^1 • Pi. 



Vermöge der Transformation, welche die drei ersten infinitesimalen 

 Transformationen in die drei letzten überführt, muss also — wenn 

 überhaupt eine solche existiert: 



2tj — x' = 2yi, x^x^ 

 sein. Diese Transformation kann also nur so lauten : 

 Xy=x, y^=y — -^. 



Sie führt in der That die erste Gruppe in die zweite über. Wünschen 

 wir die allgemeinste Transformation zu kennen, vermöge deren die 

 beiden Gruppen mit einander ähnlich sind, so haben wir in der zweiten 



*) Siehe Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Archiv for Math. Bd. .3 

 (1878); Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine endliche 

 continuierliche Gruppe gestatten, Math. Ann. Bd. XXV (1884); Theorie der Trans- 

 formationsgruppen, I. Abschnitt bearb. unter Mitw. von Ens^el, Leipzig, 1888, 

 Kap. 19. 



