Ähnlichkeit einfach transitiver Gruppen. 433 



Bei einer einfach transitiven Gruppe X-^^f. . Xnf besteht zwischen 

 ihren n infinitesimalen Transformationen keine lineare Relation mit 

 von x^ . . Xn abhängigen Coefficienten, Gleichungen von der Form (5) 

 des vorigen Paragraphen kommen hier also nicht vor; es ist eben die 

 damalige Zahl q jetzt auch gleich n. Hieraus folgt, dass eine einfach 

 transitive Gruppe nur mit solchen Gruppen ähnlich sein kann, die 

 ebenfalls einfach transitiv sind. 



Mithin ist es unsere Aufgabe — wenn wir die ümkehrung des 

 Satzes 4 des vorigen Paragraphen für die einfach transitiven Gruppen 

 beweisen wollen — zu zeigen, dass zwei einfach transitive Gruppen 

 in gleich vielen Veränderlichen mit einander ähnlich sind, sobald sie 

 nur gleiche Zusammensetzung haben. 



Wir betrachten also zwei w-gliedrige einfach transitive Gruppen 

 X^f.. Xnf und Yj/". . Ynf in x^ . . x^ bez. y^ . .yn und setzen voraus, 

 dass sie gleich zusammengesetzt seien. Wir können annehmen, die in- 

 finitesimalen Transformationen seien schon so gewählt, dass mit 



(X,-Xt) ~"-^ CiksX,f 

 1 

 auch 



n 



{i,J:=\,2,.n) 



ist. Alsdann bilden die n Difi'erentialgleichungen : 



(7) X,/+ r./=0 {i=l,2..n) 



ein gerade w-gliedriges vollständiges System in den 2n Veränder- 

 lichen x^ . .Xn, y^. . yn, da ja : 



n 



(Z./+ Yif, X,f+ Y,n=^sc,,JX,f-\- r/) 



1 

 ist. Dieses System besitzt also n Lösungen ßj . . ü„, die von einander 

 unabhängig sind sowohl hinsichtlich x^-.x^ als auch hinsichtlich «z^. .^/n, 

 denn die Gleichungen des vollständigen Systems (7) lassen sich sowohl 



nach 5— • • ^— als auch nach 5-^ • • 0-^ auflösen. Lösen wir daher die 

 n Gleichungen; 



(8) Slk{Xi . . Xn, y^ . . y^ = ttk (k=l,2..n) 

 nach yi . . yn auf, so erhalten wir ein Gleichungensystem 



(9) ' yi = ^.(^1 . . Xn, «1 . .ttn) (i = 1, 2 . . n), 



das eine Transformation von x, . . Xn in ?/, . . y^ dprstellt. Unter a^ . . a„ 



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