434 Kapitel 17, 8 2. 



Trf,dieeinf.sQiien hierbei beliebige Parameter verstanden werden. Diese Trans- 

 trans. Gr. in " 



gleich zu- formation (9) führt nun, behaupten wir, die Gruppe XJ'. . Xnf in die 



sammen- ^ ' ' ^ iix' i 



gesetzte Gruppe Y.f. . Ynf Über. 



überführen ^^ l' ' 



Nachweis. Zum Beweise bemerken wir, dass das Gleichungensystem (8) in 



den 2n Veränderlichen x-^ - - Xn, Vi • ■ Vn bei den n infinitesimalen 

 Trausforniationeii X,/ -f- Yif in sich übergeht, also invariant bleibt oder 

 — wie man sich auszudrücken pflegt — diese infinitesimalen Transfor- 

 mationen gestattet"^). Denn das Increment von Slk bei Xif-{-Yif, d.h. 

 (Xiilk + YiSlk)dt ist gleich Null, sodass ilk bei Ausführung von 

 X,/-|- y,/ beständig constant, gleich a^, bleibt. Daher muss auch das 

 dem System (8) äquivalente Gleichungensystem (9) die n infinitesimalen 

 Transformationen X^f -\- Y^f gestatten, mit anderen Worten: Wenn 

 die Beziehungen (9) zwischen x^ . . Xn und y^ . . pn hergestellt werden, 

 so bleiben sie ungeändert, wenn man auf x^ . . x^, y^ . .yn die n in- 

 finitesimalen Transformationen Xi;f -{- Ykf ausführt. Es müssen daher 

 die Gleichungen 



(10) YuVi = X,^, {i, Ä; = 1, 2 . . w), 



die durch Ausübung von Xkf -\- Y^f auf (9) hervorgehen, vermöge (9) 

 identisch bestehen. 



Wenn andererseits in den X^f. . Xnf die neuen Veränderlichen 

 yi=^i eingeführt werden sollen, so bildet man bekanntlich**) 



2 



^"^'^j, (* = 1, 2..«) 



und eliminiert daraus x^. .Xn vermöge (9). Nach (10) sind also die 

 so aus X^f . . Xnf entstehenden infinitesimalen Transformationen in 

 yi . . y„ diese : 



2 



Y,y,§^ (i=l, 2..«), 



d. h. Yif. . Ynf selbst, was zu beweisen war. 

 AUge- Es lässt sich auch umgekehrt zeigen, dass diese Methode die all- 



meinste der- . ^ _ o / 



artige gcmemste Transformation (9) liefert, vermöge deren jedes X/t/" gerade 

 in Ykf übergeht. Denn soll vermöge (9) allgemein X^f in Y^f über- 

 gehen, so muss vermöge (9) X^^i identisch mit Y^yi werden, es 

 muss also vermöge (9) der Ausdruck X^f -\- Y^f verschwinden, sobald 



*) Vgl. „Diffgln. m. inf. Trf.", an vielen Stellen. 

 **) Vgl. Schluss des § 2 des 3. Kap. 



