Ähnlichkeit einfach transitiver Gruppen. 



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darin f durch t/* — ^t ersetzt wird. Die Gleichungen (9) müssen 

 folglich ein Lösungensystem des vollständigen Systems (7) darstellen. 



Somit gilt das 



Theorem 30: Ztvei einfach transitive Gruppen X,/". . X„/'Ahniichke 



_ gleich- 



und Y^f. . Ynf in gleich vielen Veränderlichen Xy. . Xn l>e^- y± - - «/„zusammen 

 sind dann und nur dann mit einander ähnlich, wenn sie gleich- einfach 



transitive: 



zusammengesetzt sind. Will man sie in allgemeinster Weise in Gruppen 

 einander überführen, so hat man die n infinitesimalen Trans- 

 formationen Y-i^f . . Ynf der zweiten Gruppe in allgemeinster 

 Weise so auszuwählen, dass mit 



auch 



(XiXk) = y'f Ciks Xsf 

 1 



n 



iY,Y,)=^sc,,sYsf 



■ (i, k = 1, 2 . .n) 



ist, hat alsdann das vollständige System 



Xif-\- Yif=0 (^■=l, 2..n) 

 zu integrieren und seine Integralgleichungen 



ih{Xi^ ..Xn, y^.. yn) = ak {k=l, 2 ..n) 



nach y^ . . yn aufzulösen. Die dadurch hervorgehenden Trans- 

 formationen 



yi = 0i{xi . . Xn, a^ . . an) («=1,2.. n) 



sind die allgemeinsten, welche die Überführung der beiden 

 Gruppen in einander leisten, a^-.an liönnen dabei als beliebige 

 Constanten gewählt werden, für die 0^ . . 0n von einander un- 

 abhängig bleiben. 



Beispiel : Die allgemeine projective Gruppe der Curve dritter Beispiel. 

 Ordnung des Raumes {x, y, z) : 



.2 » ^3 



y = x 



Z = X" 



lautet, wie wir in einem früheren Beispiel bemerkten (siehe § 3 des 



16. Kap.): 



p -\- 2xq -\- ^yr 



^p + '^yo. + ^^^ 



d(x^p + xyq -\- xzr) — 2yp — zq. 



Sie ist einfach transitiv, da ihre Determinante nicht identisch ver- 

 schwindet und hier n = r = 3 ist. Bezeichnen wir ihre infinitesi- 



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