436 Kapitel 17, § 2. 



malen Transformationen der Reihe nach mit X^f, X^f, X^f, so 

 haben wir 



(X,X,) = XJ, {X,X,) = 2X,f, (X,X,) = X,f. 



Andererseits ist die allgemeine projective Gruppe, welche die gerad- 

 linigen Erzeugenden der einen Schar der Fläche zweiten Grades 



in Ruhe lässt, die ebenfalls schon besprochene: 



Sie ist ebenfalls einfach transitiv. Bezeichnen wir ihre infinitesimalen 

 Transformationen mit l\f, Y^f\ Y^f, so haben wir 



(¥,¥,)= YJ, {Y,Y,) = 2Y,f, {Y,Y,)=YJ. 



Die beiden betrachteten Gruppen sind somit gleichzusam in engesetzt. 

 Es giebt daher wenigstens eine (selbstverständlich nicht projective, aber 

 doch algebraische) Transformation, welche die eine Gruppe in die andere 

 verwandelt. Es gründet sich hierauf ein bemerkenswerter Zusammen- 

 hang zwischen der Theorie der Fläche zweiten Grades und der 

 Raumcurve dritten Grades. 



tSnsUive ^"^ ®^^® andere zwar sehr einfache, aber auch sehr wichtige An- 



tertausc"h-*^®"^""^ ^^" uusercm Theorem zu machen, betrachten wir die einfach 

 ireii Trans-transitive Gruppe 



irmationen. -^^ Qro^ c, ^ 



IL IL .... IL. 



dx^ dx^ ' dx^ 



Ihre Klammerausdrücke sind sämtlich Null. Bezeichnen wir allgemein 

 zwei infinitesimale Transformationen Uf, Vf, deren Klammerausdruck 

 UiVf) — V{Uf) oder (UV) identisch verschwindet, als vertauschbar, 

 so folgt aus unserem Theorem unmittelbar der 



Satz 5: Jede n-gliedrige Gruppe in n Veränderlichen mit lauter 

 vertauschbaren infinitesimalen Transformationen, zwischen denen Jeeine 

 lineare Relation besteht, lässt sich durch passende Wahl der Veränder- 

 lichen x^ . .Xn auf die Form bringen *) ; 



dl df_ _ _ dl 

 dx. dxa dx 



Satz 12 in § 3 des 14. Kap. ist hiervon wieder ein specieller Fall. 

 Man ersieht daraus, wie umfassend das Theorem 30 ist. 



*) Diesen einfachen, aber fundamentalen wSatz entdeckte Lie im Jahre 1869. 

 Er benutzte ihn in den Jahren 1870—72 zur Entwickelung mehrerer Integrations- 

 theorien und dehnte ihn in den Verh. d. Ges. d. Wiss. zu Christiania, 30. April 

 1872, auf infinitesimale Berührungstransformationen aus. 



