Ähnlichkeit einfach transitiver Gruppen. 437 



Wir wollen hier die soeben eingeführte Bezeichnung: vertausch- 

 hare infinitesimale Transformationen gruppentheoretisch erklären. Sind \ 

 Uf und Vf zwei infinitesimale Transformationen, so erzeugt jede eine 

 eingliedrige Gruppe mit endlichen Transformationen 5« . . . bez. T^ . . . 

 Im allgemeinen wird bei der Aufeinanderfolge von beliebigen Trans- 

 formationen beider Gruppen die Reihenfolge nicht gleichgültig sein. 

 Man kann aber zeigen, dass allgemein stets SaT,, = T^Sa dann und 

 nur dann ist, wenn der Klammerausdruck {ÜV)^0 ist, sodass der 

 Satz gilt: 



Satz 6 : Die endlichen Transformationen Sa, Th zweier eingliedriger 

 Gruppen Uf Vf sind dann und nur dann stets mit einander vertausch- 

 bar : SaTb = TbSa, wenn der Klammerausdruck 



{UV) = U{Vf) — V{Uf) = 

 ist. 



Der Ausdruck : vertauschbare infinitesimale Transformationen soll 

 sich also auf zwei infinitesimale Transformationen oder eingliedrige 

 Gruppen beziehen, deren endliche Transformationen mit einander ver- 

 tauschbar sind. 



Zum Beweis des Satzes bemerken wir: Eine endliche Transforma- 

 tion Sa der eingliedrigen Gruppe Vf führt eine behebige Function f 

 über in 



r=f+jUf-\-^^uuf-\----, 



f wird von einer endlichen Transformation T^ der eingliedrigen Gruppe 

 Vf weiter übergeführt in: 



f"^f^\vf'-\-^~^vvr-{---^. 



Die Aufeinanderfolge SaT^ giebt also: 



f -f + \{aUf+hVf) + ^ - («2 -(jUf+ 2ahVUf+ b'VVf) + ---. 



Entsprechend giebt die Aufeinanderfolge T^Sai 



/■= /■+ T ibVf-\-aUf) -f ^ (h'VVf-\- 2haUVf-\- a'UUf) + • • •. 



Soll /"^/"für alle Werte von a und b sein, so lehrt zunächst der 

 Vergleich der quadratischen Glieder, dass VUf^UVf, also (UV)^O 

 sein muss. Hieraus folgt, da dies für jeden Ausdruck f gelten muss, 

 dass dann im Übrigen stets, wo ein V einem U unmittelbar voraus, 

 geht, V mit U vertauscht werden kann, sodass also f" auch in den 

 Gliedern höherer Ordnung genau mit f übereinstimmt*). 



*) Vgl. „Diffgln. m. inf. Trf.", § 4 des 14. Kap. 



ertauscli 

 baro inf. 

 Trausfor- 

 mationeii 



