438 Kapitel 17, § 8. 



§ 3. Einfach transitive Gruppen, die zu einander reciprok sind. 



u*n*3itivM^' ^^® vorhergehenden Entwickelungen gestatten ohne weiteres, alle 

 Gruppe in Transformationen zu bestimmen, die eine gegebene einfach transitive 

 Gruppe X^f. . Xnf in sich überführen. Unter allen diesen Transfor- 

 mationen suchen wir nun insbesondere diejenigen, welche die Form 

 jedes einzelnen Xif bewahren und nicht einmal um einen constanten 

 Factor ändern. Dadurch gelangen wir zu einer wichtigen reciproken 

 Beziehung zweier einfach transitiver Gruppen zu einander. 



Liegt eine einfach transitive Gruppe in w Veränderlichen x^-.Xn vor: 



n 



Xif = ^iiic{x^ ..Xr)—- {i = l, 2 ...n) 

 und schreiben wir sie statt in x^. . Xn in anderen Veränderlichen x^. . Xn : 



n 



XY = 2 ^'* ^^i'- • ^«') TP (*■ = 1, 2 . . w), 



indem wir einfach jedes Xk durch Xk ersetzen, so haben wir zwei 

 gleichzusammengesetzte einfach transitive Gruppen XJ'. . Xnf und 

 X^f. . Xnf vor uns, die im Grunde genommen mit einander identisch 

 sind, da die erste vermöge der identischen Transformation 



Xk = Xk (7c = 1, 2 . . n) 

 in die zweite übergeht. 



Wir fragen nun nach allen Transformationen der x^ . . Xn in die 

 x^ . . Xn, vermöge deren jedes Xif gerade in Xlf übergeht. Nach 

 Theorem 30 des vorigen Paragraphen müssen wir zu diesem Zweck 

 das w-gliedrige vollständige System bilden: 



X,-/-+Z//-=0 (»=1, 2..n) 



und seine Integralgleichungen 



^k{x^ . . Xn, X^ . . Xn) = ttk (k = \, 2 . .n) 



nach a;/. . Xn auflösen. Die hervorgehenden Gleichungen 



(11) Xi = Oi(xj^ . .Xn, a^. .an) («==1,2.. n) 



mit den n wesentlichen Parametern a^ . . an stellen alsdann die Schar 

 aller oo" Transformationen von x^ . . Xn in x^ . . Xn dar, die jede in- 

 finitesimale Transformation X,/ in die entsprechende Xlf überführen. 

 Dass alle n Parameter «^ . . a„ wesentlich sind, folgt daraus, dass 

 ißj . . ß„ sämtlich von einander unabhängig sind. Bei einer solchen 

 Transformation (11^ geht also die ursprüngliche Gruppe, ja jede (infini- 

 tesimale) Transformation der Gruppe bis auf eine andere Bezeichnung 



