Einfach transitive Gruppen, die zu einander reciprok sind. 439 



der Veränderlichen in sich selbst über. Dasselbe gilt daher, wenn wir 

 zwei Transformationen (11) nach einander anwenden, d. h. wenn wir 

 die Gruppe X//". . X^f fernerhin vermöge 



(12) a;/'= Oi{x;. . Xn, b,..K) (i = 1, 2 . . n) 



in eine neue Gruppe X^'f. . Xü'f verwandeln. Denn es wird dann auch 



n 



X/r=2 U ix;'. . Xn") ^ {i=l,2..n) 



sein. Die Aufeinanderfolge der Transformationen (11) und (12) ist 

 mithin einer einzigen Transformation derselben Art äquivalent: ö^^^ß.,ii^r"d^8e 

 oo** Transformationen (11) bilden eine continuierliche Gruppe. Diese ^^^^^J^°^ 

 Gruppe enthält, da sie aus allen Transformationen besteht, die X^f..Xnf 

 je in sich überführen, paarweis in versa Transformationen, sowie die 

 identische xl=Xi. Sie wird daher von infinitesimalen Transforma- 

 tionen erzeugt. Es seien VJ. . Unf n von einander unabhängige unter 

 diesen oo""^ infinitesimalen Transformationen. 



Die M-gliedrige Gruppe üif. . Unf ist einfach transitiv. Dies f^^'g^^ ^^^^^''^gitj^^ 

 unmittelbar daraus, dass sich die Gleichungen (11) in der Form Slk = ak ^-^^w»- 

 nach a^ . . an auflösen lassen, dass also die Gruppe (11) stets eine 

 Transformation enthält, die ein beliebiges Wertsystem x^ . . Xn in ein 

 beliebiges anderes Wertsystem x^..Xn verwandelt. 



Wir werden nunmehr zeigen, dass jeder Klammerausdruck(Xjf4)^0 

 ist, dass also — nach dem zum Schluss des vorigen Paragraphen ein- 

 geführten Sprachgebrauch — die XJ'..X„f mit den UJ..Ünf ^ß^' ^^^^l^'f^, 

 tauschbar sind. i^ppon'' 



In der That: Es mögen für den Augenblick mit Sa . ■ die end- 

 lichen Transformationen der Gruppe XJ'. . X^f, mit Th . . die der 

 Gruppe UJ..Unf bezeichnet werden. Wir wissen, dass jede Trans- 

 formation Tb jede infinitesimale Transformation der Gruppe X^f . . Xnf 

 genau in sich überführt, also auch jede endliche Transformation Sa 

 dieser Gruppe. Sa geht aber bei Ausführung von Tb über in Tb~^SaTb. 

 (Vgl. Satz 5, § 2 des 3. Kap.) Also ist: 



Tb~^SaTb == Sa 



und in Folge dessen 



SaTb == TbSa. 



Nach Satz 6 des vorigen Paragraphen ist also auch jedes {Xiük)'^:0. 



